Exercice : théorèmes de Gauss et Bezout
1) Énoncer le théorème de Gauss.
2) Démontrer le théorème de Gauss à l’aide du théorème de Bézout.
3) Application. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’ensemble de couples d’entiers relatif $(a;b)$ tels que : $33a - 45b = 0$.
1) Théorème : Gauss
Soit $n$ un entier qui divise le produit $ab$. Si $n$ est premier avec $a$, alors il divise $b$.
2) $n$ est premier avec $a$ donc pgcd $(n,a) = 1$. Il existe $u$ et $v$ entiers tels que :
$au + nv = 1$ Multiplions les deux membres par $b$ :
$aub + nv = b$
$(ab)u + nvb = b$
$n$ divise $ab$ et $nvb$ donc $abu + nvb$, par conséquent $n$ divise $b$.
3) Application.
$3$ divise $33$ et $45$ donc $33a - 45b = 0 \Leftrightarrow 11a = 15b \quad(E_1)$.
Il apparait donc que $\quad 15$ divise $11a$
Or pgcd $(11,15) = 1$, d'après le théorème de Gauss, $15$ divise $a$.
Il existe donc un entier $k$ vérifiant : $a = 15k , \;k \in \mathbb{Z}$.
En remplaçant dans $(E_1)$, on obtient : $b = 11k$
L'ensemble des couples solutions $(a;b)$ sont donc de la forme :
$S=\{(15k; 11k) \;;\; k\in\mathbb{Z}\}$