Cours Stage - Théorème de Bezout, Gauss
Exercice d'application

Exercice : théorèmes de Gauss et Bezout

 

1) Énoncer le théorème de Gauss.

2) Démontrer le théorème de Gauss à l’aide du théorème de Bézout.

3) Application. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’ensemble de couples d’entiers relatif $(a;b)$ tels que : $33a - 45b = 0$.

1) Théorème : Gauss

Soit $n$ un entier qui divise le produit $ab$. Si $n$ est premier avec $a$, alors il divise $b$.

 

2) $n$ est premier avec $a$ donc pgcd $(n,a) = 1$. Il existe $u$ et $v$ entiers tels que : 

$au + nv = 1$ Multiplions les deux membres par $b$ :

$aub + nv = b$

$(ab)u + nvb = b$

$n$ divise $ab$ et $nvb$ donc $abu + nvb$, par conséquent $n$ divise $b$.

 

3) Application.

$3$ divise $33$ et $45$ donc $33a - 45b = 0 \Leftrightarrow 11a = 15b \quad(E_1)$.

Il apparait donc que $\quad 15$ divise $11a$

Or pgcd $(11,15) = 1$, d'après le théorème de Gauss, $15$ divise $a$.

Il existe donc un entier  $k$ vérifiant : $a = 15k , \;k \in \mathbb{Z}$.

En remplaçant dans $(E_1)$, on obtient : $b = 11k$

L'ensemble des couples solutions $(a;b)$ sont donc de la forme :

$S=\{(15k; 11k) \;;\; k\in\mathbb{Z}\}$