Cours Factorisation de $P$ par $z - a$
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L'énoncé

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Question 1

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) = 3x^3 -x^2 -3x +1$ ?

$P(x) =3(x+1) (x- \frac{1}{2})(x+\frac{1}{6})$

On remarque que -1 est une racine évidente du polynôme $P.$

Ainsi, d'après le théorème de la vidéo, $P$ peut s'écrire :

$P(x) = (x+1)(ax^2+bx+c).$

En développant et en identifiant les coefficients, on trouve

$a = 3, b = -4$ et $c =1.$

$P$ se factorise donc sous la forme

$P(x)= (x+1)(3x^2 -4x +1).$

En calculant le discriminant $\Delta = 4^2 - 4\times 1 \times 3 = 4$

On trouve alors

  • $x_1 = \frac{4+2}{12}= \frac{1}{2}$
  • $x_2  =\frac{4-2}{12} = -\frac{1}{6}$

On en déduit, grâce au théorème de la vidéo que les polynômes $x+\frac{1}{6}$ et $x- \frac{1}{2}$ sont facteurs de $P.$

Donc

$P(x) = 3(x+1)(x- \frac{1}{2})(x+\frac{1}{6})$

$P(x) = 3(x+1)(x- \frac{1}{2})(x-\frac{1}{6})$

$P(x) =3(x+1) (x+ \frac{1}{2})(x+\frac{1}{6})$

$P(x) =3 (x+1)(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{6})$

Déterminez une racine évidente $x_0$ de P puis déterminer $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x-x_0)(ax^2+bx+c).$

Question 2

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) = x^3 + x^2 - 7x +5$ ?

$P(x)= (x+1)(x-1)^2$

$P(x) = (x-1)(x +1 - \sqrt{6})(x+1+ \sqrt{6})$

On remarque que 1 est racine évidente de $P.$

Ainsi, d'après le théorème de la vidéo, $P$ s'écrit : $P(x) = (x-1)(ax^2+ bx +c).$

En développant et en identifiant les coefficients on trouve : $a=1, b=2$ et $c=-5.$

On en déduit que $P(x) = (x-1)(x^2 +2x - 5).$

Le calcul du discriminant donne : $\Delta = 2^2 + 4\times 5 \times 1 = 24.$

On en déduit que $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{24}}{2} = \sqrt{6}-1.$

De même, $x_2 = \frac{-2-\sqrt{24}}{2} = -1 - \sqrt{6}.$

Le polynôme $P$ s'écrit donc $P(x) = (x-1)(x +1 - \sqrt{6})(x+1+ \sqrt{6}).$

$P(x) = (x-1)(x-2)(x+1-\sqrt{6})$

$P(x)= (x-1)(x-1-\sqrt{5})(x-2+\sqrt{8})$

Déterminez une racine évidente $x_0$ de $P $ puis déterminer $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x-x_0)(ax^2+bx+c).$

Question 3

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) =3x^3 -8x^2 + 3x +2$ ?

$P(x)= 3(x-2)(x-1)(x-\frac{1}{3})$

$P(x)=3 (x-2)(x+1)(x+\frac{1}{3})$

$P(x)=3(x-2) (x-1)(x+\frac{1}{3})$

On remarque que 2 est une racine évidente de $P.$

Ainsi, $P$ peut s'écrire : $P(x)= (x-2)(ax^2 + bx+c)$

En développant et en identifiant, on trouve que $a = 3, b= -2$ et $c= -1$

Donc $P(x) = (x-2)(3x^2 -2x -1)$

Le calcul du discriminant donne : $\Delta = (-2)^2 + 4\times 1  \times 3 = 16$

Puis vient le calcul des racines : $x_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1$

et $x_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$

Donc la forme factorisée de $ P$ est : $P(x)= 3(x-2)(x-1)(x+\frac{1}{3})$

$P(x)=3(x-2) (x+1)(x-\frac{1}{3})$

Déterminez une racine évidente $x_0$ de $P$ puis déterminer $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x-x_0)(ax^2+bx+c)$

Question 4

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x) =8x^3 +2x^2 - 6x -4 $ ?

 

 

$P(x) = 8(x-1)^2(x-\frac{1}{4})$

$P(x) = 8(x-1)(x+1)(x-\frac{1}{4})$

$P(x) = 8(x-1)^2(x+\frac{1}{4})$

$P(x) = 8(x-1)(x+1)(x+\frac{1}{4})$

On remarque que 1 est une racine évidente de $P.$

Donc $P(x) = (x-1)(ax^2+bx+c)$

En développant cette expression, on trouve $a = 8, b= 10, c =4$

Donc $P(x) = (x-1)(8x^2+10x+4)$

Le calcul du discriminant donne : $\Delta = 10^2 - 4\times 4 \times8 = 100 - 64 = 36$

Puis, le calcul des racines donne : $x_1 = \frac{-10 + 6}{16} = -\frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-10-6}{16} = -1$

On en déduit que $P$ peut s'écrire : $P(x) = 8(x-1)(x+1)(x+\frac{1}{4})$

Déterminez une racine évidente $x_0$ de $P$ puis déterminer $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x-x_0)(ax^2+bx+c)$

Question 5

Quelle est la forme factorisée du polynôme $P(x)= 2x^4 - 6x^3 + x^2 +6 x -3$ ?

 

$2(x-1)(x+1)(x-\frac{6-\sqrt{12}}{4}) (x- \frac{6+\sqrt{12}}{4})$

On trouve que -1 et 1 sont deux racines évidentes de $P.$

Donc $P(x) = (x-1)(x+1)(ax^2+bx+c)$

En développant et en identifiant les coefficients on trouve que $ a= 2, b= -6, c =3$

Donc $P(x) = (x-1)(x+1)(2x^2 - 6x +3)$

Le calcul du discriminant donne : $\Delta = (-6)^2 -4\times 2 \times 3 = 36 - 24 = 12$

Puis $x_1 = \frac{6-\sqrt{12}}{4}$

$x_2 = \frac{6+ \sqrt{12}}{4}$

On en déduit que $P(x)= 2(x-1)(x+1)(x-\frac{6-\sqrt{12}}{4}) (x- \frac{6+\sqrt{12}}{4})$

$2(x-1)(x+1)(x-\frac{6-\sqrt{12}}{2}) (x- \frac{6+\sqrt{12}}{2})$

$2(x-1)(x+1)(x-\frac{6-\sqrt{6}}{4}) (x+\frac{6+\sqrt{6}}{4})$

$2(x-1)(x+1)(x+\frac{6-\sqrt{12}}{4}) (x+\frac{6+\sqrt{12}}{4})$

Déterminez deux racines évidentes $x_0$ et $x_1$ de $P$ puis déterminer $a, b$ et $c$ tels que : $P(x) = (x-x_0)(x-x_1)(ax^2+bx+c)$