Variance et écart-type

Variance et écart-type

 

Définitions

 

Considérons la série statistique suivante donnée sous forme d’un tableau.

Valeurs $x_1$ $x_2$ $x_p$
Effectifs $n_1$ $n_2$ $n_p$

 

Sur la première ligne figurent les valeurs de la série et sur la seconde les effectifs. 

L’effectif total $N$ correspond à la somme des effectifs : $N = n_1 + n_2 + … + n_p$. 

 

La moyenne $overline{x}$ est égale à

$overline{x} = dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + … + n_p x_p}{N}$. 

 

La variance $V$ vaut

$V = dfrac{n_1 (x_1 – overline{x})^2 + n_2 (x_2 – overline{x})^2 + … + n_p (x_p – overline{x})^2}{N}$. 

 

L’écart type noté $sigma$ correspond à la racine carrée de la variance :

$sigma = sqrt{V}$. 

 

Exemple :

Considérons la série statistique suivante donnant les notes d’élèves ainsi que les effectifs correspondant:

Notes  $8$   $9$  $10$ $11$
Effectifs $2$ $2$ $1$ $1$

 

Ainsi deux élèves ont eu 8, deux élèves ont eu 9. 

L’effectif total est $N = 2 + 2 + 1 +1 = 6$.

 

La moyenne vaut :

$overline{x} = \dfrac{2 \times 8 + 2 \times 9 + 1 \times 10 + 1 \times 11}{6} approx 9,2$. 

 

La variance vaut

$V = dfrac{2(8 – 9,2)^2 + 2(9 – 9,2)^2 + 1(10 – 9,2)^2 + 1(11 – 9,2)^2}{6} \approx 1,14$.

L’écart type vaut donc

$sigma = \sqrt{V} = sqrt{1,14} \approx 1,1$. 

 

Interprétation

 

L’écart type représente l’écart moyen des notes par rapport à la moyenne générale. 

Cela signifie donc qu’en moyenne dans ce groupe d’élèves, chacun a un écart d’environ 1 point par rapport à la moyenne.

L’écart type est ici peu élevé. En effet, les notes sont relativement rassemblées autour de la moyenne : il n’y a pas de dispersion. 

Ainsi, l’écart type sert à quantifier la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.