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STAGE - PROPORTIONNALITÉ

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Reconnaître une situation de proportionnalité

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Reconnaître une situation de proportionnalité

 

Définition

 

Deux grandeurs sont proportionnelles si on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre.

La proportionnalité indique donc une conservation des proportions des grandeurs. 

 

Exemples :

  • 1) On s'intéresse au périmètre d'un carré de côté $c$.

Cela revient à faire la somme des côtés ou encore $P = 4\times c$ car un carré a 4 côtés de même longueur. 

On remplit donc un tableau contenant sur la première ligne le périmètre d'un carré dont le côté est renseigné sur la seconde ligne. 

$P$ (en cm)            
$c$ (en cm) 2 5 7 8 1 0

 

On remplit donc la première ligne en appliquant la formule $P = 4\times c$. 

 

$P$ (en cm) 8 20 28 32 4 0
$c$ (en cm) 2 5 7 8 1 0

 

On s'aperçoit ici que pour passer de la seconde ligne à la première on multiplie toujours par $4$.

A l'inverse, si on souhaite passer de la première ligne à la deuxième, on divise par $4$.

Puisque l'on multiplie toujours par la même valeur, cela signifie que le périmètre d'un carré et la longueur du côtés sont proportionnels. 
$4$ est le coefficient de proportionnalité.

On remarque aussi que lorsque l'on passe de $c = 2$ à $c = 8$, la valeur du côté a quadruplé.

Il en est de même de la valeur du périmètre ($32 = 8 \times 4$). On a donc conservé les proportions. 

 

  • 2) On dispose des valeurs de $A$ et de $B$ et il s'agit de déterminer si ses grandeurs sont proportionnelles. 
$A$ 5 7 4,1 0 3
$B$ 15 21 12,3 0 9,2

On cherche ainsi si il existe un coefficient qui permet de passer de la première ligne à la seconde pour n'importe quelle valeur. 

On regarde donc le quotient de la seconde ligne sur la première lorsque cela est possible.

$\dfrac{15}{5} = 3$
$\dfrac{21}{7} = 3$

A ce stade, il n'est pas possible de conclure bien que les rapports soient égaux, il faut regarder tout le tableau. 

$\dfrac{12,3}{4,1} = 3$

On ne peut pas calculer le coefficient pour la colonne contenant des $0$. Cependant, on remarque que $0 = 0 \times 3$. 
Il semble donc que le coefficient soit $3$. 

Cependant, en calculant pour la dernière colonne, on obtient  $\dfrac{9,2}{3} \approx 3,07 \neq 3$.

Comme on ne trouve pas le même coefficient pour toutes les valeurs, les grandeurs $A$ et $B$ ne sont pas proportionnelles. 

 

  • 3) On dispose d'une carte de cinéma, qui a coutée 10€, et qui permet de bénéficier d'une place à 5€. On se demande si le prix total payé est proportionnel au nombre de fois où nous sommes allés au cinéma. 

Si nous allons une fois au cinéma, nous payons le prix du billet auquel on ajoute le prix de la carte. Nous avons donc payé $10 + 5 = 15$€. 

On remplit donc le tableau suivant.

 

$C$ 1    
$D$ 15    

 

Si le tableau représentation une situation de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité serait $15$ d'après notre premier calcul.

Si nous allons trois fois au cinéma, nous payons le prix de la carte et les trois entrées à 5€, c'est à dire $10 + 3 \times 5 = 25$€.  

Le tableau devient donc :

 

$C$ 1 3  
$D$ 15 25  

 

Or $3 \times 15 = 45 \neq 25$. 

Les grandeurs $C$ et $D$ ne sont donc pas proportionnelles. 

Il suffisait sinon de remarquer qu'en n'allant pas au cinéma, le coût total était de 10€ et ainsi, à 0 ne correspondait pas 0 et la non proportionnalité était montrée, car il n'existe pas de coefficient qui en multipliant 0 permet de trouver 10.