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STAGE - PRODUIT SCALAIRE, PROPRIÉTÉS

Exercice - Produit scalaire et relation de Chasles



L'énoncé

\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB = 4\) et \(AD = 2\). \( E \) est le point de \([DC]\) tel que \(DE = 1\).

Les droites \((AE)\) et \((BD)\) se coupent en \(H\) et \(N\) est le milieu de \([AB]\).


  • Question 1

    Décomposer \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{BD}\) à l'aide de la relation de Chasles puis calculer

    \(\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD}\).

  • Question 2

    Que peut-on en conclure pour les droites \((AE)\) et \((BD)\) ?

  • Question 3

    En calculant de deux manières le produit scalaire \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}\), trouver la longueur \(BH\).

  • Question 4

    Montrer que \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HN}\)

  • Question 5

    Sachant que \(HA =\dfrac{4\sqrt5}{5} \) montrer que \(\overrightarrow{HN}.\overrightarrow{HA} =\dfrac{8}{5}\)

  • Question 6

    Justifier que \(HN = 2\).

  • Question 7

    Calculer \(\cos(\widehat {AHN})\) et en déduire une valeur approchée de l'angle \(\widehat {AHN}\) au degré près.

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