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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Équation cartésienne de cercle

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Équation cartésienne de cercle

 

Pour trouver l'équation d'un cercle, il existe deux manières de procéder selon que l'on dispose du centre et du rayon ou du diamètre.

 

1) Avec le centre $\Omega (a; b)$ et le rayon $r$

 

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Soit $M(x; y)$ un point du cercle,

Alors ${\Omega M}^2 = r^2$.

Ainsi, $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. 

 

Exemple : 

Si $\Omega (-1; 2)$ et $r = 3$, alors l'équation réduite du cercle est

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ c'est à dire :

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$. 

 

2) Avec le diamètre $[AB]$

 

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Soit $M$ un point du cercle,

alors le triangle $ABM$ est rectangle en $M$ car $[AB]$ est un diamètre du cercle et l'hypoténuse du triangle. 

Ainsi, les droites $(MA)$ et $(MB)$ sont perpendiculaires, en d'autres termes, $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MB} = 0$. 

 

Exemple :

Si $A(-1; 3)$, $B(5; 2)$ et $M(x; y)$ un point appartenant au cercle de diamètre $[AB]$,

Alors une équation cartésienne du cercle se trouve en utilisant la formule $\overrightarrow{MA} . \overrightarrow{MB} = 0$.

$(1 - x)(5 - x) + (3 - y)(2 - y) = 0$

$ x^2 + y^2 -4x -5y + 1 = 0$ 

C'est une équation cartésienne, qui n'est pas unique.


Il est possible de factoriser cette expression, en remarquant que l'équation contient le début de deux identités remarquables :

$(x - 2)^2 + \left ( y - \dfrac{5}{2} \right )^2 = \dfrac{37}{4}$.

C'est l'équation réduite du cercle qui permet de connaitre le centre du cercle $\Omega\left (2; \dfrac{5}{2} \right)$ et son rayon $\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.