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STAGE - VARIANCE ET ÉCART-TYPE

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Variance et écart-type

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Variance et écart-type

 

Définitions

 

Considérons la série statistique suivante donnée sous forme d'un tableau.

Valeurs $x_1$ $x_2$ ... $x_p$
Effectifs $n_1$ $n_2$ ... $n_p$

 

Sur la première ligne figurent les valeurs de la série et sur la seconde les effectifs. 

L'effectif total $N$ correspond à la somme des effectifs : $N = n_1 + n_2 + ... + \ n_p$. 

 

La moyenne $\overline{x}$ est égale à

$\overline{x} = \dfrac{n_1\ x_1 +\ n_2\ x_2 +\ ... \ +\ n_p\ x_p}{N}$. 

 

La variance $V$ vaut

$V = \dfrac{n_1 \ (x_1 - \overline{x})^2 + n_2 \ (x_2 - \overline{x})^2 + \ ... \ + n_p \ (x_p - \overline{x})^2}{N}$. 

 

L'écart type noté $\sigma$ correspond à la racine carrée de la variance :

$\sigma = \sqrt{V}$. 

 

Exemple :

Considérons la série statistique suivante donnant les notes d'élèves ainsi que les effectifs correspondant:

Notes  $8$   $9$  $10$ $11$
Effectifs $2$ $2$ $1$ $1$

 

Ainsi deux élèves ont eu 8, deux élèves ont eu 9. 

L'effectif total est $N = 2 + 2 + 1 +1 = 6$.

 

La moyenne vaut :

$\overline{x} = \dfrac{2 \times 8 + 2 \times 9 + 1 \times 10 + 1 \times 11}{6} \approx 9,2$. 

 

La variance vaut

$V = \dfrac{2(8 - 9,2)^2 + 2(9 - 9,2)^2 + 1(10 - 9,2)^2 + 1(11 - 9,2)^2}{6} \approx 1,14$.


L'écart type vaut donc

$\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{1,14} \approx 1,1$. 

 

Interprétation

 

L'écart type représente l'écart moyen des notes par rapport à la moyenne générale. 

Cela signifie donc qu'en moyenne dans ce groupe d'élèves, chacun a un écart d'environ 1 point par rapport à la moyenne.

L'écart type est ici peu élevé. En effet, les notes sont relativement rassemblées autour de la moyenne : il n'y a pas de dispersion. 

Ainsi, l'écart type sert à quantifier la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.