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FORMULES D'ADDITION

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Formules d'additions

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Trigonométrie : Formules d'additions

 

Dans ce qui suit, $a$ et $b$ sont deux réels. 

 

$\left \{ \begin{array}{l} \cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) \\ \cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \\ \end{array} \right.$

Les formules précédentes peuvent être démontrées à partir du produit scalaire

 

$\left \{ \begin{array}{l} \sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) \\ \sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b) \\ \end{array} \right.$

 

Pour s'en souvenir, il existe un moyen mnémotechnique : le sinus est sympa : il se mélange avec le cosinus et le signe plus dans le sinus se retrouve entre les deux termes. 

 

En remplaçant $b$ par $a$ dans la première formule on obtient  :

$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$.

Or $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ pour tout réel $x$. 

Ainsi $\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$.

En remplaçant $b$ par $a$ dans le deuxième groupement de formules on obtient  :

$\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$.

 

Exemple : Trouvons la valeur exacte de $\cos\left (\dfrac{5\pi}{12} \right )$.


Il s'agit donc de se ramener en utilisant les formules précédentes à des valeurs connues des sinus et des cosinus. 

$\cos\left (\dfrac{5\pi}{12} \right ) = \cos\left ( \dfrac{2\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12} \right ) $

$\iff\cos\left (\dfrac{5\pi}{12} \right )=\cos\left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4} \right ) $

$\iff\cos\left (\dfrac{5\pi}{12} \right )=\cos\left ( \dfrac{\pi}{6}\right)  \cos\left (\dfrac{\pi}{4} \right ) - \sin\left ( \dfrac{\pi}{6}\right) \sin\left (\dfrac{\pi}{4} \right ) $

$\iff\cos\left (\dfrac{5\pi}{12} \right )= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff\cos\left (\dfrac{5\pi}{12} \right )=\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $.