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DÉVELOPPEMENT DE $(A+B)^3$ ET DE $(A+B+C)^2$

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Développement de $(a+b)^3$ et de $(a+b+c)^2$

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Identités remarquables - compléments  : $(a+b)^3$ et $(a+b+c)^2$

 

1) Avec trois termes 

 

Soient $a, b, c$ trois réels,

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(a + b - c)^2 = (a + b + (-c))^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

 

Exemples : 
$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)^2 = \sqrt{2}^2 + \sqrt{3}^2 + 1^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 2\times 1 \times \sqrt{3} + 2\times 1 \times \sqrt{2} $

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)^2=  2 + 3 + 1 + 2\sqrt{6} + 2 \sqrt{3} + 2\sqrt{2} $

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)^2= 6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$. 

 

2) Cube d'une somme ou d'une différence

 

Soient $a$ et $b$ deux réels,

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

 

On peut remarquer que la somme des puissances de chacun des termes est égale à 3. 

Les puissances de $a$ diminuent entre chaque terme et les puissances de $b$ augmentent.

 

Exemple : 

$(\sqrt{2} + 1)^3 = \sqrt{2}^3 + 3\sqrt{2}^2\times 1 + 3\sqrt{2}\times 1^2 + 1^3 $

$(\sqrt{2} + 1)^3= 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1 $

$(\sqrt{2} + 1)^3= 7 + 5\sqrt{2}$.