VARIATIONS DE FONCTIONS (Accès libre)

Généralités sur les fonctions

• Exercice : Les fonctions

  1) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier la réponse)

  a) Si $f$ est une fonction définie et strictement croissante sur $[-2 ; 5]$ alors $f(-2) < f(5)$.

  b) Si $f$ est une fonction définie sur $[1 ; 4]$ telle que $f(1) > f(4)$ alors $f$ est strictement décroissante sur $[1 ; 4]$.

  c) Si $f$ change le sens de toutes inégalités sur $\mathbb{R}$, et $f(-1) = 4$ alors pour tout réel $x\in [-1 ; +\infty [$ on a : $f(x)\leq 4$.

   

  2) Répondre aux questions suivantes en utilisant la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$. 

  

  a) Déterminer graphiquement les images de $0$ et $-2$.

  b) Déterminer graphiquement le(s) éventuels antécédent(s) de $2; -2$ et $-5$.

  c) Sur quel(s) intervalle(s) $f$ est-elle croissante ?

  d) Déterminer graphiquement le signe de $f(x)$ (faire un tableau de signe).

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  Correction

  1) a) C’est la définition de fonction strictement décroissante qui permet d’affirmer que $f(-2) < f(5)$, donc cette affirmation est vraie.

   

  b) Pas forcément, on peut très bien avoir une fonction telle que $f(1) > f(4)$ et non strictement décroissante,

  L’inégalité $f(a) > f(b)$ avec $a < b$ n’est pas vérifiée pour tout couple de réels mais pour $1$ et $4$ donc cette affirmation est fausse.

   

  c) Cette affirmation est vraie. 

  Si $x\in [-1 ; +\infty [$ on a $x\geq -1$ (avec $x$ et $–1$ appartenant à $[-1 ; +\infty [$) donc

  $f(x)\geq f(-1)$ (puisque $f$ change le sens de toutes inégalités sur $[-1 ; +\infty [$), on a donc $f(x)\geq 4$.

   

  2) a) Le point de coordonnées $(0 ; 0$) appartient à $C_f$ donc $f(0) = 0$. 

  Le point de coordonnées $(-2 ; -1)$ appartient à $C_f$ donc $f(-2) = -1$.

   

  b) La droite d’équation $y = 2$ ne coupe pas $C_f$ donc $2$ n’a pas d’antécédents.

  La droite d’équation $y = -2$ coupe $C_f$ en deux points d’abscisses $0,65$ et $3$ (environ),

  $-2$ a deux antécédents : $0,65$ et $3$. 

  La droite d’équation $y = -5$ coupe $C_f$ au point d’abscisse $2$. 

  $–5$ a  donc un antécédent : le nombre $2$.

   

  c) $f$ est croissante sur $[-2;-1]$ et $[2 ;3]$.

   

  d) Tableau de signe de $f(x)$

  x	-2                   -1.7                      0                         3
  f(x)	-                0          +           0                -

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