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NOTATION VALEUR ABSOLUE, DISTANCE ENTRE DEUX NOMBRES RÉELS

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Valeur absolue : distance entre deux nombres

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La valeur absolue - Distance entre deux nombres 

 

Définition : Valeur absolue

 

La valeur absolue d'un nombre $x$ se note $|x|$ et rend ce nombre positif. 

Ainsi, si le nombre est positif, la valeur absolue du nombre est lui même.

Si le nombre est négatif, la valeur absolue est l'opposé de ce nombre. 

On notera alors $\left \{ \begin{array}{l} |x| = x \text{ si } x \geq 0 \\ |x| = - x \text{ si } x \leq 0 \\ \end{array} \right.$

 

Exemples :

$|3| = 3$ car $3>0$

$|-2| = -(-2) = + 2$ car $-2 < 0$

$|\pi - 4 | = -(\pi - 4) = 4  - \pi$ car $\pi - 4 < 0$ en utilisant la calculatrice. 

 

Distances

 

La distance entre deux nombres est toujours positive, on utilise donc la valeur absolue pour s'assurer de la positivité de nos calculs. 

distance_entre_deux_nombres

 

Exemples

On peut calculer des distances à l'origine. 

Cette distance correspond à la valeur absolue de l'abscisse du nombre.

Ainsi, $|OA| = |4| = 4$ et $|OB| = |-3| = 3$.

 

Inégalités et valeurs absolues

 

On considère une inégalité de la forme $|x| \leq a$.

Cela signifie que la distance à l'origine doit être plus petite que $a$.

Cela correspond donc aux nombres $-a \leq x \leq a$.

Exemple

On représente sur la droite graduée l'ensemble des nombres $x$ tels que $|x| \leq 2$. On note cet ensemble sous la forme $-2 \leq x \leq 2$. 

intervalle_ferme

 

On considère à présent une inégalité de la forme $|x| > a$.

Cela correspond à l'ensemble des nombres dont la distance à l'origine est strictement plus grande que $a$. C'est à dire $x > a$ ou $x < -a$.

Exemple

$|x| > 2$ signifie $x < -2$ ou $x > 2$. 

intervalle_ouvert

 

Distance entre deux nombres

 

La distance entre deux points $A$ et $B$ est donnée par la formule $AB = |x_A - x_B | = |x_B - x_A|$. 

On notera que le résultat est toujours positif du fait de la valeur absolue.

 

Exemple

On considère les points $A$ et $B$ placés sur la droite graduée suivante.

distance_entre_deux_nombres

Alors $AB = |x_A - x_B | = |x_B - x_A|$

$AB = |4 - (-3)| = |7| = 7$ ou bien $AB = |-3 - 4| = |-7| = 7$. 

Dans les deux cas, la distance est bien positive et vaut $7$. 

 

Inégalité $|x - a| \leq r$

 

Soit $a$ un nombre réel quelconque et $r$ un nombre positif. 

On veut résoudre l'inégalité suivante $|x - a| \leq r$.

L'utilisation des valeurs absolues signifie qu'il s'agit d'une distance. 

On commence alors par placer le point $a$ sur la droite graduée puis on cherche l'ensemble des nombres $M(x)$ d'abscisses $x$ tels que leur distance à $a$ soit inférieure ou égale à $r$. 

intervale_a-r._a+r

On peut également traduire cette inégalité sous la forme 

$-r \leq x - a \leq r$ ou en ajoutant $a$, on trouve l'inégalité suivante :

$-r + a \leq x \leq r + a$.

Ainsi, $x$ appartient à l'intervalle $[a -r; a + r]$. 

 

Exemple 

On cherche l'ensemble des points $M(x)$ d'abscisses $x$ tels que $|x - 4| \leq 2$. 

On place donc le point $4$ sur la droite graduée puis on cherche l'ensemble des points dont la distance à $4$ est inférieure ou égale à $2$.

On trouve alors que $4-2 \leq x \leq 4 + 2$ ou encore $2 \leq x \leq 6$. 

intervalle__valeur_absolue