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STAGE - COEFFICIENTS BINOMIAUX , K PARMI N

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Coefficients binomiaux (k parmi n), propriétés

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Coefficients binomiaux : $\binom{n}{k}$, $n \in \mathbf{N}$, $k \in \mathbf{N}$, $n\geq k$

 

Définition

 

On rappelle la formule des coefficients binomiaux :

$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ pour $0\leq k\leq n$.

 

Regardons quelques exemples à connaitre :

$\binom{n}{0} = \dfrac{n!}{0!(n)!}=1$

En effet par convention, $0!=1$

Le résultat  est cohérent car le coefficient binomial $\binom{n}{0}$ revient à dénombrer les parties à 0 élément d’un ensemble à n éléments. Il n’y a qu’un ensemble possible, c’est l’ensemble vide.

 

$\binom{n}{1} = \dfrac{n!}{1!(n-1)!}=n$

En effet, $1!=1$ et $n!=n\times (n-1)!$

Le résultat  est cohérent car le coefficient binomial $\binom{n}{1}$ revient à dénombrer les parties à 1 élément d’un ensemble à n éléments. Il n’y a donc que les singletons possibles et il y a n singletons : {1}, {2},…,{n}.

 

$\binom{n}{2} = \dfrac{n!}{2!(n-2)!}$

$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)\times(n-2)!}{2\times (n-2)!}$

$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$

En effet, $2!=2\times 1=2$.

Cette formule n’est pas nécessairement à connaitre mais permet d’avancer plus vite dans certains exercices.

 

Propriétés

 

Intéressons-nous maintenant à quelques formules à connaitre :

 

  • La formule de symétrie :

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

Démontrons cette formule par une méthode de dénombrement.

$\binom{n}{k}$ correspond par exemple au nombre de façon de composer une équipe de k joueurs avec n joueurs disponibles. Et choisir dans un groupes de n joueurs les k joueurs qui vont aller sur le terrain revient au même que de choisir les n-k joueurs qui vont rester sur le banc. Ainsi, dans un effectif de n joueurs, il y a autant de composition d’équipe avec k joueurs que de composition de banc de touche avec les n-k joueurs restant (si j’intervertis 2 joueurs, je forme une nouvelle équipe mais aussi un nouveau banc de touche).

Il est aussi possible de redémontrer cette formule en développant avec les factorielles.

On en tire deux exemples à connaitre :

$\binom{n}{n} =\binom{n}{n-n} =\binom{n}{0}=1$

$\binom{n}{n-1} =\binom{n}{n-(n-1)} =\binom{n}{1}=n$

 

  • La formule de Pascal :

$\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}$ avec $0\leq k\leq n-1$.

La formule de Pascal s’appelle ainsi car Pascal a mis en place le triangle de Pascal qui permet d’avoir les coefficients dans les identités remarquables généralisées :

$(a+b)^2, (a+b)^3, (a+b)^4…$.

En réalité ce n’est pas Pascal le premier qui a produit ce triangle mais c’est bien antérieur.

Démontrons cette formule par le dénombrement:

Soit E un ensemble à n+1 éléments :

$E={1,2,…,n+1}$

Nous devons fabriquer des parties à k+1 éléments. Dans la partie que nous fabriquons, soit elle contient n+1, soit elle ne le contient pas.

Soit n+1 est dans la partie : je dois encore choisir k éléments (j’en ai déjà 1 et il m’en faut k+1) parmi n (j’ai déjà choisi l’élément n+1, maintenant je ne peux piocher que parmi n éléments) : Il y a donc $\binom{n}{k}$ façons de fabriquer une partie à k+1 éléments dans laquelle n+1 se trouve.

Soit n+1 n’y est pas : je dois donc toujours sélectionner k+1 éléments, mais parmi n choix puisque je ne peux pas choisir n+1 : Il y a donc $\binom{n}{k+1}$ façons de fabriquer une partie à k+1 éléments dans laquelle n+1 ne se trouve pas.

On établit donc une classification sur l’ensemble des parties à k+1 éléments parmi les n+1 éléments. Parmi ces parties, il y en a qui contiennent n+1 et d’autres qui ne le contiennent pas.

En dénombrement il y a deux erreurs classiques : oublier certaines parties et compter certaines parties deux fois.

Ici la classification est exhaustive (on a bien compté toutes les partitions possibles) et non redondante (on a séparé en deux classes distinctes, une partie ne peux pas être en même temps dans les 2 cas présentés). On peut donc sommer :

$\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}$ avec $0\leq k\leq n-1$

 

  • La formule du quarterback

 

$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$ avec $1\leq k\leq n$