Terminale > Mathématiques > Combinatoire et dénombrement > Stage - Coefficients binomiaux , k parmi n

STAGE - COEFFICIENTS BINOMIAUX , K PARMI N

Exercice - Le binôme de Newton



L'énoncé

Le but de cet exercice est de mettre en avant certaines applications de la formule du binôme de Newton :

$\forall a\in\mathbb{R},\forall b\in\mathbb{R}\; (a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$


  • Question 1

    Vérifier la formule pour n=0, n=1, n=2.

  • Question 2

    Démontrer la formule du binôme par récurrence.

  • Question 3

    Démontrer la formule de symétrie avec la formule du binôme :

    $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

  • Question 4

    En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que :

    $(k+1)\binom{n+1}{k+1}=(n+1)\binom{n}{k}$

  • Question 5

    Que vaut :

    $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$

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