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VARIATIONS DE FONCTIONS

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Sens de variation d'une fonction

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Sens de variation d'une fonction

 

Définitions

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

 

 $\bullet$ $f$ est dite croissante sur $I$ si et seulement si, pour tous réels $a,b$ de $I$, $a\leqslant b \Rightarrow f(a)\leqslant f(b)$.

 $\bullet$ $f$ est dite décroissante sur $I$ si et seulement si, pour tous réels $a,b$ de $I$, $a \leqslant b \Rightarrow f(a)\geqslant f(b)$.

 $\bullet$ $f$ est monotone sur $I$ si $f$ est croissante sur $I$ ou bien si} $f$ est décroissante sur $I$.

 $\bullet$ $f$ admet un maximum en $x_0\in I$ $\Leftrightarrow$ pour tout réel $x\in I$, $f(x)\leqslant f(x_0)$.

 $\bullet$ $f$ admet un minimum en $x_0\in I$ $\Leftrightarrow$ pour tout réel $x\in I$, $f(x)\geqslant f(x_0)$.

 

Illustration graphique

 

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Ici, la fonction représentée est :

  • croissante sur $I_1=[-2,-1]$ 
  • décroissante sur $I_2=[-1,1]$ 
  • croissante sur $I_3=[1,2]$

En revanche, on ne peut pas dire que $f$ est monotone sur $I=I_1\cup I_2 \cup I_3$ car $f$ change de sens de variation sur cet intervalle $I$.