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STAGE - DÉRIVÉE SECONDE D'UNE FONCTION

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Dérivée seconde d'une fonction

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Dérivée seconde d'une fonction

 

Définition

 

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f'$ est dérivable sur $I$, on note $(f')' =f''$ sa dérivée que l'on appelle dérivée seconde de $f$ sur $I$.

 

Exemples :

  • Soit $f : x \mapsto 3x^2 + 5x + 7$ une fonction polynomiale, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,  $f'(x) = 6x + 5$

$f'$ est aussi une fonction polynomiale, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,  $f''(x) = 6$

 

  • Soit $g: x \mapsto \cos(5x + 3)$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que composée de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

Soit $x \in \mathbb{R}$,  $g'(x) = -5\sin(5x + 3)$.

$g'$ est aussi dérivable en tant que composée de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Ainsi, soit $x \in \mathbb{R}$,  $g''(x) = -25\cos(5x + 3)$.

 

Propriétés

 

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$,

Si $u$ et $v$ sont dérivables deux fois sur $I$,

Alors $(\lambda u + v)$ et $(uv)$ sont deux fois dérivables sur $I$.

Les formules de la dérivée seconde du produit et de la somme ne sont pas à connaitre.