Terminale > Mathématiques > Fonction logarithme > Croissances comparées
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Pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ :
1. $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x \ln x = 0$ et $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x^n \ln x = 0.$
2. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0.$
Exemple
Calculer $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x$.
étape 1 : On repére une forme indéterminée du type $\infty-\infty$ et on factorise par $x^3$.
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x=\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3}) $
étape 2 : On utilise le théoréme des croissances comparées pour lever l'indétermination.
On sait que: $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^3}= 0$.
Ainsi, le terme dans la parenthése tend vers $1$ et par produit de limites, on obtient :
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3})=+\infty$
A savoir : $\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}=1$
Preuve :
On calcule $\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}$.
étape 1 : On réécrit la limite de manière à faire apparaître $\ln 1$ au numérateur et 1 au dénominateur.
On vérifie aisément que $h=1+h-1$.
$\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)-\ln 1}{1+h-1}$
étape 2 : On reconnaît la formule du nombre dérivé de la fonction $\ln $ en 1.
La fonction $\ln $ a pour dérivée la fonction $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ qui prend donc la valeur 1 lorsque $x=1$.
Conclusion : $\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)-\ln 1}{(1+h)-1}=\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}=1.$
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