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STAGE - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Y' = AY + B

Exercice - Équation différentielles $y' = ay + b$



L'énoncé

Répondre aux questions suivantes. 


  • Question 1

    Rappeller la démonstration de la propriété donnant la forme générale des solutions de la forme $y' = ay$ avec $a \in \mathbb{R}$.

  • Question 2

    Dans une culture de microbes, le nombre de bactéries à un instant $t$, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction $N(t)$.

    La vitesse de prolifération correspond à la dérivée de $N(t)$.

    En outre, un premier modèle sur l'évolution du nombre de bactéries est de considérer la vitesse de prolifération des bactéries proportionnelle au nombre de bactéries en présence, c'est à dire $N'(t) = kN(t)$ avec $k$ une constante dépendant des conditions du milieu. 

    Que vaut $N(t)$ en supposant qu'il y avait initialement $N_0$ bactéries ?

  • Question 3

    Que vaut $k$ en sachant que le nombre de bactéries a quadruplé en deux heures ?

  • Question 4

    Quelle est, d'après vous, la limite de ce premier modèle ?

  • Question 5

    On présente alors un nouveau modèle d'évolution afin de répondre aux limites précédemment explicitées.

    On suppose ainsi que le nombre de bactéries $N(t)$ suit l'équation différentielle suivante :

    $N'(t) = aN(t) (M - N(t))$ où $a$ et $M$ sont des réels strictement positif.

    On pose $P(t) = \dfrac{1}{N(t)}$, en supposant que $N(t)$ est non nulle.

    Montrer que $P$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y' = py + q$ avec $p$ et $q$ deux réels que l'on explicitera en fonction de $a$ et $M$.

  • Question 6

    Résoudre l'équation différentielle dont $P(t)$ est la solution puis en déduire $N(t)$.

  • Question 7

    Quel est l'avantage de ce nouveau modèle ?

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