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STAGE - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Y' = AY

Exercice - Équations différentielles $y' = ay$, $a \in \mathbb{R}$



L'énoncé

On cherche dans cet exercice à trouver les solutions de l'équations $(E) :  y' + y = 4e^{-x}$.


  • Question 1

    Montrer que la fonction $f(x) = 4xe^{-x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. 

  • Question 2

    Démontrer que la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = ay$, avec $a \in \mathbb{R}$ est $Ce^{ax}$ avec $C$ une constante réelle.

  • Question 3

    Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $(E') : y' + y = 0$.

  • Question 4

    Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $g - f$ est solution de $(E')$ avec $f$ la fonction définie à la première question.

  • Question 5

    En déduire la forme générale des solutions de $(E)$. 

  • Question 6

    Donner la solution $h$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $h(0) = 2$. 

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