La loi binomiale

Loi binomiale

Quelles sont les conditions de la loi binomiale ?

On considère une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats :

  • le succès $S$ ;
  • l’échec $\overline{S}$, son événement contraire.

On pose :
$p=p(S)$
et $q=p(\overline{S}) =1-p(S)$

On répète $n$ fois l’expérience, les répétitions sont indépendantes.

Soit $X$ le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

On note cette loi $\mathcal{B}(n,p)$.

 

Exemple d’arbre pour $n=2$

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La probabilité d’obtenir $k$ succès au cours des $n$ répétitions est donnée par la formule :
$p(X=k)= \displaystyle\binom{n}{k} p^k \times (1-p)^{n-k}$

Exemple

a) On lance 10 fois un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers

b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?

 

a) D’après la calculatrice, on a :
$p(X=4)\approx 0{,}054$

b) Pour s’éviter de longs calculs, on va utiliser l’événement contraire :
$p(X\geqslant1)=1-p(\overline{X\geqslant1})$.

On peut voir ici que :
$p(\overline{X\geqslant1})=p(X=0)$.

En effet, le contraire d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 est de ne pas l’obtenir du tout.

On applique la formule du cours pour calculer $p(X=0)$ car $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$.

On termine le calcul pour trouver $p(X\geqslant1)$.

$p(X\geqslant1) \approx 0{,}838$

 

Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ?

Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors :
$E(X)=n \times p$.

 

Exemple

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(10, \dfrac{1}{6}\right)$, alors son espérance vaut :
$E(X)=10 \times \dfrac{1}{6}$
$E(X)=\dfrac{5}{3}$

La loi binomiale - Exercice 1

On lance 10 fois un dé bien équilibré.

Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?

  • Étape 1 : On remarque que l’expérience “Lancer le dé” possède deux issues : le succès “obtenir le chiffre 1” et l’échec “ne pas obtenir 1”.
  • Étape 2 : La probabilité du succès est égale à \(p(S) = p = \frac{1}{6}\).
  • Étape 3 : Il faut bien préciser que l’on répète 10 fois cette expérience de manière indépendante.
  • Étape 4 : On définit \(X\) comme le nombre de fois où on obtient 1 au cours des 10 répétitions. On cherche donc ici \(P(X = 4)\).
  • Étape 5 : On applique la formule du cours : \(P(X = k) = (_{k}^n) \times p^k \times (1 – p)^{n – k}\).

La loi binomiale - Exercice 2

On lance 10 fois un dé bien équilibré.

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois le chiffre 1 au cours des 10 lancers ?

  • Étape 1 : On redéfinit les conditions de l’expérience pour appliquer la loi binomiale (2 issues, répétitions indépendantes, etc.).
  • Étape 2 : On cherche ici \(P(X \geq 1)\).
  • Étape 3 : Pour s’éviter de longs calculs, on va utiliser l’événement contraire \(p(X \geq 1) = 1 – p(\overline{X \geq 1})\).
  • Étape 4 : On peut voir ici que \(p(\overline{X \geq 1}) = p(X = 0)\).
  • Étape 5 : On applique la formule du cours pour calculer \(P(X = 0)\) car \(X\) suit la loi \(\beta(10\ ; \frac{1}{6})\).
  • Étape 6 : On termine le calcul pour trouver \(p(X \geq 1)\).

Espérance de la loi binomiale

À savoir par cœur

Si \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors : \(E(X) = n \times p\).

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