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SUITES CONVERGENTES

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Suites convergentes

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Suites convergentes

 

Définition :


Une suite de réels $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ converge vers le réel $l$ si et seulement tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note alors $\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = l$.

Ce formalise, introduit par Karl Weierstrass au 19e siècle, est nécessaire pour appréhender correctement les infiniment petit ou grand, pour lesquels l'intuition ne suffit pas. 

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On trace la droite des réels et la "droite" des entiers naturels. Soit un réel $l$ fixé, pour tout intervalle $I$ ouvert contenant $l$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $I$.

$I$ peut être choisi aussi petit que possible, non vidé ouvert autour de $l$. Cela signifie que la quasi totalité des termes de la suite appartient à $I$. En effet, seuls les termes de $0$ à $n_0 -1$ n'appartiennent pas à $I$ : il y en a donc un nombre fini. Intuitivement, en se rapprochant du nombre $l$, la "densité" de termes $u_n$ augmente. 

Mathématiquement, la définition s'écrit :
$\forall \epsilon >0 \exists n_0 \in \mathbb{N} | \forall n \in \mathbb{n}, n \geq n_0 \Rightarrow u_n \in ]l - \epsilon; l + \epsilon [$

Ou encore :

Pour tout $\epsilon >0$, il existe un entier naturel $n_0$, dépendant de $\epsilon$, tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, dès que $n \geq n_0$ alors $u_n \in ]l - \epsilon; l + \epsilon [$

 

Propriété :


Démontrons que lorsque $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ converge vers un réel $l$, alors sa limite est unique.

On raisonne pour cela par l'absurde en supposant que $(u_n)$ converge vers $l_1$ et $l_2$ avec $l_1 < l_2$.

On choisit un intervalle $I_1$ ouvert autour de $l_1$ et un intervalle $I_2$ autour de $l_2$.

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On sait qu'il existe un rang $n_1$ tel que pour $n \geq n_1 \Rightarrow u_n \in I_1$.

De même, on sait qu'il existe un rang $n_2$ tel que pour $n \geq n_2 \Rightarrow u_n \in I_2$.

On pose $n_0 = \max(n_1, n_2)$, ainsi, on a $n_0 \geq n_1$ et $n_0 \geq n_2$. Donc $u_{n_0} \in I_1 \cap I_2$.

Comme les réels $l_1$ et $l_2$ sont différents, il est possible de trouver des intervalles $I_1$ et $I_2$ ouverts telle que l'intersection de ces deux intervalles soit vide, c'est à dire $I_1 \cap I_2= \varnothing$.

Il y a donc une contradiction dans la mesure où l'ensemble $I_1 \cap I_2$ est l'ensemble vide mais contient aussi $u_{n_0}$.

Ainsi, lorsqu'une suite possède une limite finie, cette limite est unique. 

Une suite est convergente lorsqu'elle admet une limite finie. 
Dans le cas contraire, une suite est divergente.
Cependant, il existe deux possibilités pour une suite divergente, soit la suite admet une limite infinie soit la suite n'admet pas de limite.

 

Exemple :


Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on définit la suite $u_n = (-1)^n$. C'est une suite divergente qui n'admet pas de limite car elle alterne entre $1$ et $-1$. Cette suite n'admet pas de limite car pour $n$ grand, il est toujours possible de trouver un terme qui n'appartient pas à l'intervalle ouvert $I = ]0,5; 1,5[$, car certains termes valent $-1$.

On a donc choisit $\epsilon = 0,5$ et on montre que pour tout $n_0 \in \mathbb{N}$ il existe des termes d'indices plus grand que $n_0$ qui n'appartiennent pas à $I$.