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SUITES GÉOMÉTRIQUES

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Comportement asymptotique d'une suite géométrique

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Comportement asymptotique d'une suite géométrique

 

I) Inégalité de Bernoulli 

 

Enoncé : 

Pour tout réel $a$ positif, 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$(1+a)^n \geq 1 +na$

Il convient de connaître la démonstration de cette inégalité à l'aide du principe de récurrence.

 

Démonstration :

Soit $a \in \mathbb{R}_+$,

Initialisation :

On vérifie si la propriété est vraie pour $n = 0$.

Pour $n = 0$, $1 + 0 \times a = 1$ et $(1+a)^0 = 1$ par définition. 

Or $1 \geq 1$ donc

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