Terminale > Mathématiques > Suites numériques > L'incontournable du chapitre
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On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est majorée par $M$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant M$.
On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est minorée par $m$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\geqslant m$.
$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles croissante et majorée par $M$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \leqslant M$.
$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles décroissante et minorée par $m$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \geqslant m$.
Remarque : Le minorant (ou majorant) n'est pas nécessairement la limite de la suite!
Exemple :
On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence de la manière suivante :
$u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$
1) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant 4$.
2) Démontrer que $(u_n)$ est une suite croissante.
3) La suite $(u_n)$ est-elle convergente?
Correction
1) On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété " $u_n\leqslant 4$ " et on va démontrer par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Initialisation : on a $u_0=0\leqslant 4$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
Hérédité : on suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $n\in\mathbb{N}$.
On sait que $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$ donc comme par hypothèse de récurrence $u_n\leqslant 4$ on a :
$\sqrt{3u_n+4}\leqslant \sqrt{12+4}=4$ c'est-à-dire $u_{n+1}\leqslant 4$.
Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie et la récurrence est établie.
2) On a, pour tout $n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f:x\mapsto \sqrt{3x+4}$ et on sait que $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
Il suffit donc d'étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0,4]$ pour trouver les variations de la suite $(u_n)$.
Or la fonction $f$ est la composée de deux fonctions croissantes (racine carrée et une fonction affine à pente positive) donc $f$ est croissante.
Il en résulte donc que la suite $(u_n)$ est croissante.
3) D'après le théorème de la limite monotone, comme $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$, elle est convergente et en notant $\ell$ sa limite, on a $0\leqslant \ell \leqslant 4$
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