L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Convergence des suites

Définitions

On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est majorée par $M$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant M$.

On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est minorée par $m$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\geqslant m$.

Théorème de la limite monotone

$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles croissante et majorée par $M$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \leqslant M$.

$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles décroissante et minorée par $m$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \geqslant m$.

Remarque : Le minorant (ou majorant) n'est pas nécessairement la limite de la suite!

Exemple :

On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence de la manière suivante : 

$u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$

1) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant 4$.

2) Démontrer que $(u_n)$ est une suite croissante.

3) La suite $(u_n)$ est-elle convergente?

Correction

1) On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété " $u_n\leqslant 4$ " et on va démontrer par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Initialisation : on a $u_0=0\leqslant 4$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : on suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $n\in\mathbb{N}$.

On sait que $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$ donc comme par hypothèse de récurrence $u_n\leqslant 4$ on a :

 $\sqrt{3u_n+4}\leqslant \sqrt{12+4}=4$ c'est-à-dire $u_{n+1}\leqslant 4$.

Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie et la récurrence est établie.

2) On a, pour tout $n\in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f:x\mapsto \sqrt{3x+4}$ et on sait que $0\leqslant u_n\leqslant 4$.

Il suffit donc d'étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0,4]$ pour trouver les variations de la suite $(u_n)$.

Or la fonction $f$ est la composée de deux fonctions croissantes (racine carrée et une fonction affine à pente positive) donc $f$ est croissante.

Il en résulte donc que la suite $(u_n)$ est croissante.

3) D'après le théorème de la limite monotone, comme $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$, elle est convergente et en notant $\ell$ sa limite, on a $0\leqslant \ell \leqslant 4$