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STAGE - THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

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Théorème des valeurs intermédiaires - Exercice

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Soit \(f(x) = x - e^x + 2 \text{ avec } D_f = \mathbb{R}\).

Montrons qu'il existe une unique solution de \(f(x) = 0\) lorsque \(x \in [1 ; 2]\).

Ce qu'il faut savoir faire :

  • Étape 1 : On précise que \(f\) est continue sur l'intervalle comme somme de fonctions continues.
  • Étape 2 : On calcule la dérivée \(f'\) pour étudier les variations de \(f\).
  • Étape 3 : On note que la fonction est strictement décroissante sur \([1 ; 2]\).
  • Étape 4 : On calcule \(f(1)\) et \(f(2)\).
  • Étape 5 : On applique le théorème des valeurs intermédiaires : il existe un unique réel \(\alpha\) tel que \(f(\alpha) = 0\).
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