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THÉORÈMES DE BEZOUT, GAUSS

Exercice - Résolutions d'équations



L'énoncé

On travaille avec le théorème de Bezout sur l'expression \((a^2+ab-b^2)^2\) avec \(a\) et \(b\) entiers naturels.


  • Question 1

    Démontrer à l'aide du théorème de Bezout que si \((a^2+ab-b^2)^2 = 1\) alors \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.

  • Question 2

    On se propose de trouver les couples \((a,b)\) solution de l'équation \((E)\) : \((a^2+ab-b^2)^2 = 1\).
    Déterminer \(a\) lorsque \(a = b\).

  • Question 3

    Vérifier que \((1;1)\), \((2;3)\) et \((5;8)\) sont trois solutions particulières de \((E)\).

  • Question 4

    Montrer que si \((a;b)\) est solution de \((E)\) et si \(a \neq b\) alors \(a^2-b^2 <0 \).

  • Question 5

    Montrer que si \((x;y)\) est une solution particulière différente de \((1;1)\) alors \((y-x;x)\) et \((y;x+y)\) sont deux autres solutions.

  • Question 6

    Déduire de la question précédente trois nouvelles solutions.

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