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ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

Exercice - Congruences



L'énoncé

On se propose de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que : \(\left\{ \begin{array}{left}N \equiv 5(13) \\N \equiv 1(17)\end{array}\right. \)
  • Question 1

    Vérifier que 239 est solution de ce système.

  • Question 2

    Soit \(N\) un entier relatif solution de ce système.
    Démontrer que \(N\) peut sécrire sous la forme :

    \(N=1+17x=5+13y\) où \(x\) et \(y\) sont deux entiers relatifs vérifiant la relation \(17x-13y=4\).

  • Question 3

    Résoudre l'équation : \(17x-13y=4\) où \(x\) et \(y\) sont des entiers relatifs.

  • Question 4

    En déduire qu'il existe un entier relatif \(k\) tel que \(N = 18+221k\).

  • Question 5

    Démontrer l'équivalence entre \(\left\{ \begin{array}{left} N \equiv 5(13) \\ N \equiv 1(17) \end{array}\right. \) et \(N \equiv 18(221)\)

  • Question 6

    Conclure en donnant les solutions du système.

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