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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Arithmétique

  • Exercice : Arithmétique, congruences

    Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.

    Proposition 1 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs $(x ; y)$ solutions de l’équation $12x − 5y = 3$ est l’ensemble des couples $(4 + 10k ; 9 + 24k)$ où $k \in \mathbb{Z}$  ».

    Proposition 2 : Pour tout entier naturel $n$ non nul : «  $5^{6n+1}+2^{3n+1}$  est divisible par 5 ».

    Proposition 3 : Pour tout entier naturel $n$ non nul : « Si un entier naturel $n$ est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de $3n + 4$ et de $4n + 3$ est égal à 7 ».

    Proposition 4 : « $x^2+x+3\equiv 0[5]$      $\text{si et seulement si}$       $x \equiv 1[5] $ ».

    Proposition 5 : Deux entiers naturels $M$ et $N$ sont tels que $M$ a pour écriture abc en base dix ($M$ vaut $100a+10b+c$ où $a, b$ et $c$ sont des chiffres entre 0 et 9)  et $N$ a pour écriture bca en base dix.

    « Si l’entier $M$ est divisible par $27$ alors l’entier $M - N$ est aussi divisible par $27$ ».

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