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STAGE - DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCE

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Congruences

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Congruences dans $\mathbb{Z}$

 

Définition

 

Soit un entier $n$ supérieur à 2 et soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs.

On dit que $a$ est congru à $b$ modulo $n$ si et seulement si $b-a$ est divisible par $n$.

On écrit $a\equiv b[n]$.


Propriétés 

 

Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers relatifs, $n$ et $p$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 :

$a\equiv a[n].$

Si $a\equiv b[n]$ et $b\equiv c [n]$ alors $a \equiv c[n]$.

Si $a \equiv b[n]$ alors $a+c \equiv b+c[n]$.

Si $a \equiv b[n]$ alors $ac\equiv bc[n]$.

Si $a \equiv b[n]$ alors $a^p\equiv b^p[n]$.


Exemple

Trouver le reste de la division euclidienne de $200^{539}$ par 17

 

étape 1 : On pose la division euclidienne de 200 par 17.

$200= 11 \times 17 +13$

étape 2 : On utilise la définition de la congruence.

$200-13 = 11\times 17$ donc $200$ est congru à $13$ modulo $17$.

On note $200\equiv 13[17]$

étape 3 : Avec un peu d'astuce, et en remarquant que $539 = 269\times 2 +1$, on a :

$200^{539}= (200^2)^{269} \times 200$

On sait que $200\equiv 13[17]$ .

Or la congruence est compatible avec les puissances. Ainsi :

$200^2\equiv 13^2[17]$

$200^2\equiv 169 [17]$

On donne la division euclidienne de $169$ par $17$ : $169 = 9\times 17 +16$. Ainsi :

$200^2 \equiv 16 [17]$

Ou encore $200^2 \equiv (-1) [17]$.

étape 4 : On utilise les résultats précédents et on essaie d'aboutir à une congruence positive.

On a : $200^2 \equiv (-1) [17]$ et $539 = 2 \times 269 +1$.

Ainsi $200^{539}=(200^2)^{269}\times 200$ et en utilisant les résultats précédents :

$200^{539} \equiv(-1)^{269} \times 13 [17]$

$200^{539} \equiv(-1) \times 13 [17]$

$200^{539} \equiv -13 [17]$

$200^{539} \equiv 4 [17]$

Conclusion : Le reste de la division euclidienne de $200^{539}$ par 17 vaut 4