BOOST PHYSIQUE-CHIMIE - REPÈRE DE FRENET, MOUVEMENT CIRCULAIRE

I. Repère de Frenet

Soit $M$ un point se déplaçant le long d’une trajectoire. Le repère de Frenet, comme tous les repères, est utile pour décrire position, vitesse et accélération du point $M.$

Le repère cartésien est lié à une origine à un endroit donné puis on va repérer un point $M$ qui se déplace grâce à deux vecteurs unitaires $\overrightarrow{u_x}$, $\overrightarrow{u_y}$ si l’on ne considère que deux dimensions.

Ici, on a deux vecteurs unitaires $\overrightarrow{\tau}$ (vecteur tangent) et $\overrightarrow{n}$ (vecteur normal). Leur particularité est qu’ils vont être associés au point $M$ et qu'ils vont suivre ce point $M.$

Cela va permettre dans certaines situations de décrire beaucoup plus simplement le mouvement :

- Le vecteur $\overrightarrow{\tau}$ est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire, c’est-à-dire qu’il est colinéaire au vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$, qui est lui-même tangent à la trajectoire. $\overrightarrow{\tau}$ est selon cette tangente dans le même sens que le vecteur vitesse.

- Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est quant à lui perpendiculaire au vecteur $\overrightarrow{\tau}$.

$\overrightarrow{\tau}$ et $\overrightarrow{n}$ sont unitaires, ce qui signifie que la norme, l’intensité de chaque vecteur vaut 1. Le repère de Frenet est plus simple à utiliser dans certains cas car le vecteur vitesse peut s’écrire selon le vecteur unitaire $\tau$, à savoir :

$\overrightarrow{v(M)} = v(M)\times \overrightarrow{\tau}$

avec $v(M)$ la valeur de la vitesse.

On rappelle que dans un repère cartésien, on exprime la vitesse ainsi :

$\overrightarrow{v}(M) = x.\overrightarrow{u_x} + y.\overrightarrow{u_y}$

II. Cas du mouvement circulaire

Soit $M$ un point tournant autour de $O$ (l’origine du repère). De nombreux exemples peuvent illustrer ce mouvement circulaire, la Terre autour du Soleil ou la Lune autour du Soleil. On a donc $M$ qui tourne autour d’un centre, $R$ représente le rayon du cercle.

On pose une première hypothèse que $M$ tourne à vitesse constante. Le but est d’arriver à la fin à une relation entre vitesse et vitesse angulaire. Comme $M$ tourne à vitesse constante, on peut écrire :

$v = \dfrac{d}{\Delta t} = \frac{2\pi R}{T}$

On choisit ici la distance et la durée pour faire un tour. $T$ représente la période de révolution. $2\pi R$ est le périmètre du cercle. On calcule ensuite $\omega$ qui est la vitesse angulaire, en radians par seconde ($rad.s^{-1}$).

Pour calculer la vitesse angulaire, on écrit : $\omega = \dfrac{\sigma}{\Delta t} = \dfrac{2 \pi}{T}$

On se base aussi sur la valeur de l’angle et la durée pour effectuer un tour.

On constate donc que $v = \dfrac{2\pi R}{T} = \omega \times R$.

$v$ est en $m.s^{-1}$, $\omega$ en $rad.s^{-1}$ et $R$ en $m$. On peut réécrire le vecteur vitesse $v$ comme étant :

$v = R \times \omega \times t$

Pour rappel, $2\pi = 360°$.

Pour utiliser la deuxième loi de Newton, il peut être intéressant d’écrire le vecteur accélération. L’accélération se décompose en deux termes : l’accélération tangentielle et l’accélération normale. On a ainsi :

$\overrightarrow{a} = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dt} \times \overrightarrow{\tau} + \dfrac{v^2}{R} \times \overrightarrow{n}$

Exemple

On considère un manège de rayon $R = 3m$, soit un point $M$ sur le bord entraîné par une vitesse $v = 30 km.h^{-1}$, que vaut son accélération normale ?

On a ainsi : $a_n = \dfrac{v^{2}}{R} \times n$ soit $a_n = \dfrac{v^{2}}{R} = \dfrac{(\dfrac{30}{3,6})^{2}}{3} = 23 m.s^{-2}$

Attention la vitesse est en $km.h^{-1}$.

Remarque : ici la vitesse est constante. Or, la dérivée d’une constante est égale à zéro. Si le manège est à vitesse constante, alors la valeur de $a_t$ est nulle. Finalement, en mouvement accéléré uniforme, $a = a_n$.