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BOOST PHYSIQUE-CHIMIE - CHARGE D'UN CONDENSATEUR

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Charge d'un condensateur

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On sait qu’aux niveaux des armatures, des charges vont s’accumuler de part et d’autre.


I. Schéma

 

Voici le schéma de la charge d’un condensateur :

circuit_RC_2

Il faut qu’il y ait un générateur de courant continu et de tension $E,$ une résistance et un condensateur, en série. Le courant est orienté dans le même sens que la tension du générateur (convention générateur). On représente en convention récepteur, le conducteur ohmique et le condensateur. Les flèches de tension à leurs bornes sont donc à l’opposé de celle du courant. La tension du conducteur ohmique s’appelle $U_R$ et celle du condensateur s’appelle $U_C$.

 

II. La loi des mailles

 

On utilise la loi des mailles dans ce circuit. On choisit un sens de rotation horaire. Quand on rencontre une flèche de tension dans le même sens que la rotation, on lui affecte un « + » et quand c’est en sens inverse on lui affecte un « - » . On aura alors : $E - U_R – U_C = 0$.

$U_R + U_C = E$ mais $R\times i +U_C = E$

Or $i = C\times \dfrac{dU_C}{dt}$.

D’où : $R\times C \times {dU_C}{dt} + U_C = E$.

Si on arrivait à trouver la solution d’une telle équation, on aurait $U_C$ en fonction du temps. On voudrait arriver à la forme canonique de l’équation. En divisant tout par $RC,$ on obtient cette équation : $\dfrac{dU_C}{dt} + \dfrac{u_C}{RC} = \dfrac{E}{RC}$

C’est une équation différentielle du premier ordre car on a une fonction inconnue $U_C$ mais aussi sa fonction par rapport au temps.

On pose alors $\tau = RC$. $\tau$ est le temps caractéristique.

On a alors l’équation : $\dfrac{dU_C}{dt} + \dfrac{u_C}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}$ qui permet d’avoir accès en la résolvant à la fonction $U_C$ en fonction du temps.

 

III. Solution

 

La solution de cette équation est la suivante : $U_C(t) = E (1-e^{-t/\tau})$.

Graphiquement, si on trace cette fonction dans un repère avec $U_C$ en ordonnées et $t$ en abscisses, on obtient :

charge_condensateur

On obtient une courbe avec une certaine pente qui augmente puis se stabilise au fil du temps. Pour déterminer graphiquement $\tau$, on trace la tangente à la courbe à l’origine. Quand cette tangente coupe l’asymptote horizontale (E), on a $\tau$ sur l’axe des abscisses.

Plus la valeur de $\tau$ est petite, plus cela signifie que la charge aura lieu rapidement.

La tension $U_C$ à l’instant $\tau$ vaut $0,63\times E$ (sur l’axe des ordonnées).

Cela veut dire qu’à l’instant $t = \tau$, la tension du condensateur est à 63 % de sa valeur maximale. Cette première zone dans laquelle la tension évolue est appelée zone transitoire.

Puis, il y a une deuxième zone qui s’appelle régime permanent une fois que la tension est constante. A $5\tau$, $U_C$ a atteint 99 % de sa valeur finale $E.$

 

IV. Pourcentage de charge du condensateur

 

Le pourcentage de charge est : $\dfrac{q(t)}{q(t \rightarrow \inf)}$. Quand $t$ tend vers l’infini la charge est complète.

On peut aussi avoir : $\dfrac{C\times U_C(t)}{C\times U_C(t \rightarrow \inf)} = \dfrac{U_C(t)}{U_C(t \rightarrow \inf)}$.

C’est le pourcentage de charge à l’instant $t.$ Par exemple, si $t = \tau$ : $\% charge = \dfrac{0,63\times E}{E} = 0,63 = 63\%$.