BOOST PHYSIQUE-CHIMIE - DÉCHARGE D'UN CONDENSATEUR

I. Schéma

On dit que le condensateur est chargé lorsqu’à ses bornes il existe déjà une tension. Cette tension est notée $E.$

A $t = 0^-$ (juste avant $t = 0), u_c = E$.

A $t = 0,$ on ferme l’interrupteur donc le circuit.

Tant que l’interrupteur est ouvert, le courant ne peut pas circuler. Puisque le condensateur est chargé, il va alors se décharger. Comment ?

II. Loi des mailles

On a choisi de tourner dans le sens anti-horaire dans la maille. On a alors : $u_c + u_R = 0$.

Selon la loi d’Ohm : $u_R = R\times i$.

Donc $u_c + R\times i = 0$.

Dans le cas d’un condensateur : $i = C\dfrac{du_c}{dt}$.

On remplace dans l’équation : $u_c+RC\dfrac{du_c}{dt} = 0$. On a une équation différentielle.

On divise toute l’équation par RC : $\dfrac{du_c}{dt} + \dfrac{u_c}{\tau} = 0$, avec $RC = \tau$.

$\tau$ est la constante de temps ou temps caractéristique (s). (E) est une équation différentielle du premier ordre. Comment connaît-on l’unité de $\tau$ ?

$\dfrac{du_c}{dt}$ sont des volts sur des secondes donc $\dfrac{u_c}{\tau}$ doit être dans les mêmes unités. $\tau$ est bien un temps.

III. Solution

La solution de l’équation différentielle est toujours du même type : $u_c(t) = Ae^{-t/\tau}$, avec $A$ une constante à déterminer. On utilise les conditions initiales.

A $t = 0,$ la tension aux bornes du condensateur est égale à $E.$

Mais aussi, à $t = 0,$ $u_c(0) = A$.

D’où $u_c(t) = Ee^{\frac{-t}{\tau}}$. En traçant la courbe, on a une exponentielle décroissante.

On peut trouver $\tau$ en traçant la tangente à l’origine.

$\tau$ correspond au croisement avec l’axe des abscisses. A cet instant $\tau$, la valeur de $u_c$ vaut 0,37E, donc 37 % de la tension initiale. Entre $t = 0$ et $5\tau$, on appelle cela le régime transitoire et entre $5\tau$ et l’infini, le régime permanent. On va alors considérer qu’il ne se passe plus rien et que la tension est fixe.