Troisième > Mathématiques > Équations et inéquations > Inéquations du premier degré

INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit

Les inéquations du premier degré

Permalien

Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés

Les inéquations du premier degré

 

Définition

 

Résoudre une inéquation d'inconnue $x$ , c'est chercher, si elles existent, l'ensemble des valeurs qui vérifient l'inégalité proposée. 

Cet ensemble de nombres s'appelle l'ensemble des solutions.

 

Exemple : 

Considérons l'inéquation : $3x-4<7$

Le nombre $0$ est une des solutions car $3\times 0-4=-4$ et $-4<7$

Le nombre $10$ n'est pas une des solutions car $3\times 10-4=26$ et $26>7$

 

Résolutions d'inéquations

 

Lorsque l'on résout une inéquation, il faut chercher toutes les valeurs de $x$ vérifiant l'inégalité. 

Considérons l'inéquation $3x + 1 > 4x - 3$.

Il faut donc regrouper les termes identiques, généralement on a tendance à regrouper les termes en $x$ du côté gauche.

$3x - 4x > -3 - 1$

$-x > - 4$

Il faut enfin multiplier par $-1$ des deux côtés pour trouver la solution portant sur $x$ : il faut donc prêter attention à changer le sens de l'inégalité car on a multiplié par un nombre négatif.

Ainsi $x < 4$. 

L'astuce pour éviter d'oublier de changer le sens est dès le départ, de regarder de quel côté le terme multiplicateur devant $x$ est le plus grand : cela sera de ce côté là que l'on regroupera les $x$. 

Ainsi pour résoudre  $3x + 1 > 4x - 3$ on préférera écrire $ 1 + 3 > 4x - 3x$ c'est à dire $4 > x$.

 

Considérons de même l'inéquation

$5 \left ( \dfrac{x}{2} + 1 \right ) - 1 \geq 2x - \left ( \dfrac{5}{4} - x \right )$.

On commence alors par développer pour écrire l'inéquation sans parenthèses.

$ \dfrac{5x}{2} + 5 - 1 \geq 2x - \dfrac{5}{4} + x$

$ \dfrac{5x}{2} + 4 \geq 3x - \dfrac{5}{4}$

On regroupe les termes en $x$ à droite, car $ 3 \geq \dfrac{5}{2}$. 

Ainsi, $4 + \dfrac{5}{4} \geq 3x - \dfrac{5x}{2}$

Après réduction sur le même dénominateur on trouve $\dfrac{21}{4} \geq \dfrac{1}{2}x$

Enfin on multiplie par $2$ des deux côtés pour obtenir la solution selon $x$ :

$\dfrac{21}{2} \geq x$ ou encore $x\leq \dfrac{21}{2}$

 

Capture3_1

Les solutions sont donc toutes les valeurs inférieures ou égales à $\dfrac{21}{2}$.