MATHÉMATIQUES

La fonction cube

 

Définition

 

Soit $f$ la fonction cube définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. 

 

Exemples 
Calculons quelques valeurs de la fonction. 
$f(0) = 0^3 = 0 \times 0 \times 0 = 0$.
$f(-2) = (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8$. 
$f \left (\dfrac{2}{3} \right ) = \left (\dfrac{2}{3} \right ) ^3 = \dfrac{8}{27}$. 

 

Signe et variations

 

$f$ est négative lorsque $x$ est négatif et positive lorsque $x$ est positif.

signe_fonction_cube

 

Tableau de variation : 
La fonction cube est croissante.

variation_fonction_cube

La courbe de la fonction cube est la suivante.

fonction_cube_symetrie

 

Propriétés


Soit $x \in \mathbb{R}$,
on calcule l'image de l'opposé de $x$:
$f(-x) = (-x)^3 = (-x) \times (-x) \times (-x) = x^2 \times (-x) = - x^3 = -f(x)$. 
Ainsi $f(-x) = - f(x)$.
On dit alors que la fonction $f$ est impaire.
Ainsi la courbe de $f$ est symétrique par rapport à l'origine. 

 

Positions relatives de courbes usuelles.

 

La position relative de la fonction cube par rapport aux fonctions $g(x) = x$ et $h(x) = x^2$ doit être connue. 

Pour cela on étudie le signe de la différence de $f$ et de $g$ puis de $f$ et de $h$, en cherchant à factoriser l'expression pour faciliter l'étude du signe.

 

Position relative avec $g(x)= x$

Soit $x \in \mathbb{R}$,
$f(x) - g(x) = x^3 - x = x(x^2 -1) = x(x - 1)(x + 1)$. 
On réalise donc le tableau de signe pour chaque facteur du produit, puis on utilise la règle des signes du produit pour trouver le signe de la différence. 

position_relative_fonction__cube_fonction_x

On trouve ainsi que $f(x) - g(x) < 0$ pour $x \in ]-\infty; -1[$ et $]0;1[$, ainsi $f$ est inférieure à $g$ sur ces intervalles et donc la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$ pour ces intervalles. 

On trouve ainsi que $f(x) - g(x) > 0$ pour $x \in ]-1; 0[$ et $]1; +\infty[$, ainsi $f$ est supérieure à $g$ sur ces intervalles et donc la courbe de $f$ est au dessus de celle de $g$ sur ces intervalles. 

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Position relative avec $h(x)= x^2$

Soit $x \in \mathbb{R}$,
$f(x) - h(x) = x^3 - x^2 = x^2(x -1) $. 
On réalise donc le tableau de signe pour chaque facteur du produit, puis on utilise la règle des signes du produit pour trouver le signe de la différence. 

position_relative_cube_carré

On trouve ainsi que $f(x) - h(x) < 0$ pour $x \in ]-\infty; 0[$ et $]0;1[$, ainsi $f$ est inférieure à $h$ sur ces intervalles et donc la courbe de $f$ est en dessous de celle de $h$ pour ces intervalles. 

On trouve ainsi que $f(x) - h(x) > 0$ pour $]1; +\infty[$, ainsi $f$ est supérieure à $h$ sur cet intervalle et donc la courbe de $f$ est au dessus de celle de $g$ sur cet intervalle. 

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