MATHÉMATIQUES

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OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Opérations sur les limites

 

Limite d'une somme

 

Si $f$ a pour limite $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
Si $g$ a pour limite $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
Alors $f+g$ a pour limite $l+l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ FI


 

Limite d'un produit

 

Si $f$ a pour limite  $l$ $l>0$ $l<0$ $l>0$ $l<0$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $0$
Si $g$ a pour limite $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm\infty$
Alors $f\times g$ a pour limite $l\times l'$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ FI

 

Limite d'un quotient dans le cas où la limite du dénominateur n'est pas nulle

 

Si $f$ a pour limite  $l$  $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm\infty$
Si $g$ a pour limite  $l'\neq 0$ $\pm\infty$  $l'>0$  $l'<0$  $l'>0$  $l'<0$ $\pm\infty$
Alors $\dfrac{f}{g} $ a pour limite $\dfrac{l}{l'}$ $0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ FI

 

Limite d'un quotient dans le cas où la limite du dénominateur est nulle

 

Si $f$ a pour limite  $l>0$ ou $+\infty$ $l>0$ ou $+\infty$ $l<0$ ou $-\infty$ $l<0$ ou $-\infty$ $0$
Si $g$ a pour limite $0$ en restant positive   $0$ en restant négative  $0$ en restant positive  $0$ en restant négative   $0$
 Alors $\dfrac{f}{g} $ a pour limite  $+\infty$ $-\infty$   $-\infty$ $+\infty$  FI 

 

  • M
    Maria ~ 28/10/2017
    Selon le dernier tableau, alors la limite de (3/0 en restant positif) serait + infini ?... Afficher la suite
    • M
      Maria ~ 28/10/2017
      Selon le dernier tableau, alors la limite de (3/0 en restant positif) serait + infini ?
    • logo-lesbonsprofs
      Aline ~ 28/10/2017

      Bonjour Maria, 

      Est ce que tu peux préciser ta question? Je ne comprends pas très bien.

      Merci d'avance,

      A bientôt,

      Aline

    • M
      Maria ~ 28/10/2017
      Oui bien sûr ce n'était pas très clair, ma question est : est-ce que dans le calcul des limites, un nombre positif divisé par 0 en restant positif a une limite égale à +infini ? Je pense que oui, d'après les tableaux, c'est juste que je ne trouve pas ça très logique ;)
    • logo-lesbonsprofs
      Louise ~ 28/10/2017

      Bonjour Maria, 

      En effet, ce que disent les tableaux est juste. Pour le comprendre, un bon exemple est la fonction 1/x (que tu connais certainement). 

      lim(1/x) quand x tend vers 0+ = + l'infini, je pense que cela est acquis pour toi ? Si non, nous pouvons le reprendre sans soucis. Or, quelle que soit la fonction étudiée, multiplier la fonction par un scalaire (un nombre) k positif et non nul quelconque ne change pas la limite de la fonction. Plus clairement : 

      lim(k*(1/x)) quand x tend vers 0+ = lim(1/x) quand x tend vers 0+ = + l'infini (évidemment si k est négatif le sens est inversé). 

      Donc, ici, tu as k = 3 : donc la limite de "3/0+" (même s'il est mathématiquement interdit de l'écrire de cette manière, car tu ne peux pas poser une division par 0) est bien + l'infini. 

      Certes, cela peut paraître contre-intuitif, mais cela fait partie des choses des math qu'il faut savoir sans qu'elles paraissent vraiment logiques. Ceci dit quelques éléments explicatifs peuvent peut-être te permettre de voir que ça n'est pas si illogique : la fonction inverse (je prends la fonction inverse puisque c'est bien de cette fonction dont il est implicitement question lorsque tu divises 3 par 0) est monotone (son sens de variation ne change pas) sur ]0;+infini[ et sur ]-infini;0[.

      Or il est "logique" que la limite de cette fonction en + l'infini soit nulle, puisque plus tu divises un nombre par une grande valeur, plus le résultat est petit. Etant donné

      1- que la fonction est strictement décroissante sur ]0;+infini[,

      - la limite en 0+ ne peut pas être 0 

      - mais cette limite est nécessairement positive 

      2- que la limite de la fonction ne peut pas être une valeur quantifiable en 0 puisqu'il est mathématiquement interdit de diviser par 0, alors c'est presque forcément + infini. 

      Voilà, j'espère que mes commentaires ne sont trop infantilisants, et que cela t'aide à comprendre pourquoi cette limite est + infini.

      Courage pour la suite de tes révisions et n'hésite pas si ma réponse n'est pas claire à me demander des éclaircissements.

      Louise