MATHÉMATIQUES

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Suites convergentes

 

Définition :


Une suite de réels $(u_n)_{(n \in \mathbb{N})}$ converge vers le réel $l$ si et seulement tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note alors $\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = l$.

Ce formalise, introduit par Karl Weierstrass au 19e siècle, est nécessaire pour appréhender correctement les infiniment petit ou grand, pour lesquels l'intuition ne suffit pas. 

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On trace la droite des réels et la "droite" des entiers naturels. Soit un réel $l$ fixé, pour tout intervalle $I$ ouvert contenant $l$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $I$.

$I$ peut être choisi aussi petit que possible, non vidé ouvert autour de $l$. Cela signifie que la quasi totalité des termes de la suite appartient à $I$. En effet, seuls

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