Cours Notation trigonométrique et exponentielle
Exercice

L'énoncé

Dans chacun des cas suivants, répondre par VRAI ou FAUX. Justifiez vos réponses.

Question 1

Le nombre complexe \((1+i)^{10}\) est imaginaire pur.

Vrai : si on passe en forme exponentielle c'est immédiat :

On montre aisément que \(1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\). Ainsi : 
\( (1+i)^{10} = \left( \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{10} = 2^5e^{i\frac{5\pi}{2}} = 32i\)

Utilisez ici la forme exponentielle de \(1+i\), il ne faut surtout pas développer la puissance
Cherchez dans votre cours des formules avec les puissances sur cette notation.

Question 2

Le nombre complexe \(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2}\) est de module 1 et l'un de ses arguments est \(\dfrac{7\pi}{3}\).

Faux.
\(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2} = \dfrac{2e^{-i\frac{\pi}{3}}}{(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^2}= \dfrac{2e^{-i\frac{\pi}{3}}}{2i}\)

\( \dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2} = e^{-i\frac{\pi}{3}}e^{-i\frac{\pi}{2}}\)

\( \dfrac{1-i\sqrt{3}}{(1+i)^2} = e^{-i\frac{5\pi}{6}} \)

Ce nombre complexe est bien de module 1 mais d'argument \(-\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}(2\pi)\).

Ecrivez le numérateur et le dénominateur sous sa forme exponentielle, il ne faut surtout pas développer la fraction.
Simplifiez l’écriture obtenue sous forme exponentielle.
Rappelez-vous que \(i\) a pour argument \(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\), \(k\) réel.

Question 3

\(A\) est le point d'affixe \(-1+2i\) dans un repère orthonormal. L'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) vérifiant \((z+1-2i)(\overline{z}+1+2i) =4\) est le cercle de centre \(A\) et de rayon 4.

Faux : on développe : \((z+1-2i)(\overline{z}+1+2i) = z\overline{z}+(1-2i)\overline{z}+(1+2i)z+1-4i^2\)

D'où en remplaçant \(z\) par \(x + iy\)

\(x^2+y^2+(1-2i)(x-iy)+(1+2i)(x+iy)+5=4\)

\( \Leftrightarrow x^2+y^2+2x-4y+1=0 \)

\(\Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2 = 4\)

Donc le centre est bien le point A mais le rayon est 2.

On aurait pu remarquer directement que \(\overline{z} +1 + 2i = \overline{z+1-2i}\)

Doù \(|z-(-1+2i)|^2 = 4\)

\(\vert z-z_A\vert = 2\) mais la conclusion est identique.

Développez le membre de gauche et écrivez \(z\) sous la forme \(x+iy\).
Vous retrouverez (ou non) l’équation cartésienne du cercle proposé.