Caractérisation des nombres complexes

Nombres complexes et vecteurs

Nombres complexes et vecteurs

 

Distances et vecteurs

On considére deux points $A$($z_A$) et $B$($z_B$) du plan complexe $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe :

$z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.

 

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.

 

Il en résulte donc que la distance $AB$ vaut :

$AB=|z_B-z_A|$.

 

Angles et arguments

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points du plan complexe $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$.

On a les résultats suivants :

$ \boxed{ arg(z_B-z_A)=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}) ~ [2\pi]}$

--38

 

$\boxed{ arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) ~ [2\pi]}$

--39

Exemple

On donne les quatre points suivants :

$A(0,0)$, $B(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12)$, $C(\dfrac12,-\dfrac12)$ et $D(1,-\dfrac12)$.

Calculer une mesure de l’angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$.

On commence par donner l’affixe des quatre points :

  • $ z_A=0$
  • $z_B=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i$
  • $z_C=\dfrac12-\dfrac12 i$
  • $z_D=1-\dfrac12 i$

 

On a alors :

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{(1-\dfrac12 i)-(\dfrac12-\dfrac12 i)}{(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i)-(0)} $

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{\dfrac12}{\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i}$.

En simplifiant par $2$ puis en multipliant par la quantité conjuguée, on a : 

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}=\dfrac{\sqrt3-i}{4} $

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\right)$

En utilisant les méthodes précédentes, on montre facilement que :

$arg\left( \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\right) = -\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi] $.

On trouve donc :

$arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = -\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi] $.

Conclusion :

Comme

$arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) ~ [2\pi]$,

on a donc : 

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=-\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi]$

 

Complexes et ensembles de points - Exercice 1

Exercice

 

Déterminons l’ensemble des points \(M(z)\) du plan vérifiant \(\left|z – 2i \right| = 3\).

Étape 1 : On pose le point \(A\) d’affixe \(2i\).

Étape 2 : On reconnait le module de l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AM}\) qui est aussi la longueur \(AM\).

Étape 3 : L’ensemble des points recherché se situe sur un cercle de centre \(A\) et de rayon 3.

Complexes et ensembles de points : exercice 2

Exercice

 

Déterminons l’ensemble des points \(M(z)\) du plan vérifiant \(\left|z + 3i + 1 \right| = \left|iz – 3i \right|\).

Étape 1 : On modifie l’expression de sorte à faire apparaître une forme du type \( \left|z_A – z_B\right|\).

Étape 2 : On pose le point \(B\) d’affixe \(-3i – 1\) tel que nous venons de le définir.

Étape 3 : On déduit de cette expression qu’il s’agit de la longueur \(MB\).

Étape 4 : On factorise la deuxième expression par \(i\).

Étape 5 : On sait que le module d’un produit est le produit des modules.

Étape 6 : On pose le point \(A\) d’affixe 3. Et on en déduit que l’expression correspond à la longueur \(MA\).

Étape 7 : L’ensemble des points se trouve donc sur la médiatrice de \([AB]\) que nous pouvons tracer.

Complexes et ensembles de points : Exercice 3

Exercice

 

Déterminons l’ensemble des points \(M(z)\) du plan vérifiant \(arg(z – 2i) = \frac{\pi}{3} [2\pi]\).

Étape 1 : On sait que \( arg(z_B – z_A) = (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}) [2\pi]\).

Étape 2 : On pose le point \(C\) d’affixe \(2i\).

Étape 3 : On en déduit d’après le cours que l’angle formé entre les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{CM}\) vaut \(\frac{\pi}{3}\).

Étape 4 : On n’oublie pas qu’un angle de \(\frac{\pi}{3}\) est égal à \(60^o\) (soit \(\frac{180^o}{3}\)).

Étape 5 : On conclut en disant que l’ensemble des solutions est la demi droite \(Cx\) avec \(C\) exclu.

Caractérisation de nombres complexes

Caractérisations des nombres complexes

 

Réels et imaginaires purs

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe quelconque.

On dit que $z$ est réel lorsque $b=0$ et que $z$ est imaginaire pur lorsque $a=0$.

 

Exemple

  • $2i$ est imaginaire pur,
  • $3$ est réel
  • $3+2i$ n’est ni réel, ni imaginaire pur.

 

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si $z$ est un nombre complexe non nul, $\boxed{z\in \mathbb{R} \Leftrightarrow Im(z)=0}$.

Autrement dit, $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $\boxed{z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow Re(z)=0}$.

 

Caractérisation avec l’argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

 $\bullet$ $z$ est réel si et seulement si $arg(z)=k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

 $\bullet$ $z$ est imaginaire pur si et seulement si $arg(z)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

 

Illustration graphique

 

--37

L’affixe du point $M$ est un réel négatif, tandis que l’affixe du point $N$ est imaginaire pur.

le point $A$ a un affixe réel égal à $1$.

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