Annale – Nombres complexes

Equations et nombres complexes

Résolution d’équations avec des nombres complexes

 

Equations du premier degré

Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :

 $bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.

 $bullet$ $az+bbar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.

 

Exemple

Trouver la ou les solutions de l’équation $(E) : z-bar z+i=0$.

 

On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l’équation $(E)$ :

$(a+ib)-overline{(a+ib)}+i=0 Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 Leftrightarrow 2ib=-i Leftrightarrow b=-dfrac12$

Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s’écrivant :

$z=a-dfrac12 i$, avec $a$ réel. 

 

Equations du second degré

La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :

$boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.

La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :

$Delta=b^2-4ac$

Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :

$bullet$ Si $Delta >0$, les deux solutions réelles sont : $z_1=dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$ et $z_2=dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}$.

$bullet$ Si $Delta=0$, la solution est $z_0=-dfrac{b}{2a}$.

$bullet$ Si $Delta<0$,les deux solutions complexes sont : $z_1=dfrac{-b+isqrt{-Delta}}{2a}$ et $z_2=dfrac{-b-isqrt{-Delta}}{2a}$.

 

Exemple

Trouver les solutions de l’équation : $(F) : z^2+4z+dfrac{25}{4}=0$.

On a $Delta = 16-25=-9 <0$ donc les deux solutions sont :

$z_1=dfrac{-4+3i}{2}$ et $z_2=dfrac{-4-3i}{2}$.

Forme trigonométrique et exponentielle

Formes trigonométriques et exponentielles

 

Définition

 

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

On note $|z|$ le module de $z$ et $theta$ un argument de $z$.

 

On a alors : $boxed{z=|z|(cos(theta)+isin(theta))}$

On appelle alors la quantité $|z|(cos(theta)+isin(theta))$ la forme trigonométrique de $z$.

En posant $e^{itheta} = cos(theta)+isin(theta)$, on obtient la forme exponentielle de $z$ :

$ boxed{z=|z|e^{itheta}}$

 

Exemple

Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants : 

$a=1+i$    ;   $b=i$  et   $c=2+2isqrt3$

 

Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.

En effet,

si $z=|z|(cos(theta)+isin(theta))$

alors $dfrac{z}{|z|}=cos(theta)+isin(theta)$.

 

Ainsi,

$|a|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt2$ puis

$dfrac{a}{|a|}=dfrac{sqrt2}{2}+idfrac{sqrt2}{2} = cos(dfrac{pi}{4})+isin(dfrac{pi}{4})$.

Finalement :

$a= sqrt2 left[cos(dfrac{pi}{4})+isin(dfrac{pi}{4})right]= sqrt2 e^{ifrac{pi}{4}}$.

 

De même,

$|b|=sqrt{1^2}=1$ puis

$dfrac{b}{|b|}=i = cos(dfrac{pi}{2})+isin(dfrac{pi}{2})$.

Finalement :

$b= cos(dfrac{pi}{2})+isin(dfrac{pi}{2})= e^{ifrac{pi}{2}}$.

 

Enfin,

$|c|=sqrt{2^2+(2sqrt3)^2}=4$ puis

$dfrac{c}{|c|}=dfrac{1}{2}+idfrac{sqrt3}{2} = cos(dfrac{pi}{3})+isin(dfrac{pi}{3})$.

Finalement :

$c= 4 left[cos(dfrac{pi}{3})+isin(dfrac{pi}{3})right]= 4 e^{ifrac{pi}{3}}$.

Argument et angle formé par deux vecteurs

A savoir par coeur :

Soient (A(z_A), B(z_B), C(z_C), D(z_D)) quatre points d’un plan complexe.

(arg left(dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}right) = (overrightarrow{AB} ; overrightarrow{CD}) [2pi])

Ainsi ( arg left(dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}right)) est égal à l’angle formé entre les vecteurs (overrightarrow{AB}) et (overrightarrow{CD}) modulo (2pi).