Nombres complexes de module 1

Ensemble des nombres complexes de module 1

Ensemble $mathbb{U}$ des nombres complexes de module $1$

 

Définition :

On désigne par $mathbb{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$ c’est à dire l’ensemble ${ z in mathbb{C}, |z| =1 }$. 

On peut citer en guise d’exemple les nombres suivants :

  • $1 in mathbb{U}$
  • $-1 in mathbb{U}$
  • $e^{ifrac{pi}{2}}=i in mathbb{U}$
  • $e^{-ifrac{pi}{2}}=-i in mathbb{U}$

On pourra remarquer que $0 notin mathbb{U}$.

On s’intéresse à l’image de l’ensemble $mathbb{U}$ dans le plan complexe, c’est à dire, la représentation géométrique de cet ensemble. 

Ainsi, l’image d’un nombre complexe de module $1$ dans le plan complexe est un point du cercle trigonométrique, c’est à dire un point du cercle de rayon 1. 
On dira alors que pour tout $z in mathbb{U}$, il existe un unique $theta in ]-pi, pi]$ tel que

$z = e^{itheta}$.

On admet alors que l’image de $mathbb{U}$ dans le plan complexe est le cercle trigonométrique. 

cercle_trigonometrique

 

Propriétés

 

Propriété 1 :

Soit $z in mathbb{C}^*$,

$z$ appartient à l’ensemble $mathbb{U}$ si et seulement si $overline{z} = dfrac{1}{z}$.

 

Démonstration :

Soit $z in mathbb{C}^*$,

si $z$ appartient à l’ensemble $mathbb{U}$  alors $|z| = 1$ ou encore $|z|^2 = 1$

C’est à dire $zoverline{z} = 1$ d’où $overline{z} = dfrac{1}{z}$.

Réciproquement, si $overline{z} = dfrac{1}{z}$ alors $zoverline{z} = 1$ c’est à dire $|z|^2 = 1$ donc $z in mathbb{U}$.

 

Propriété 2 :

Soit $(z_1, z_2) in mathbb{U}^2$ alors le produit $z_1 z_2$ appartient à $mathbb{U}^2$ .

On dit alors que l’ensemble $mathbb{U}$ est stable par la multiplication. 

 

Démonstration:

Soit $(z_1, z_2) in mathbb{U}^2$

$|z_1 z_2| = |z_1|times| z_2| = 1 times 1 = 1$

Ainsi $z_1 z_2in mathbb{U}$

 

Propriété 3

Soit $z in mathbb{U}$ alors l’inverse de $z$ appartient aussi à l’ensemble $mathbb{U}$.

On dira que l’ensemble $mathbb{U}$ est stable par passage à l’inverse.

 

Démonstration :

Soit $z in mathbb{U}$ alors $z neq 0$,

En outre,

$left | dfrac{1}{z} right | = dfrac{1}{|z|} = 1$ donc

$dfrac{1}{z} in mathbb{U}$. 

 

Interprétation géométrique de la multiplication d’un nombre complexe par un nombre $u in mathbb{U}$.

On sait qu’il existe $theta in ]-pi, pi]$ tel que $ u = e^{itheta}$.

On considère un nombre complexe quelconque $z$. On sait que l’on peut écrire ce dernier sous la forme

$z = rho e^{ialpha}$.

On s’intéresse désormais à l’image dans le plan complexe du produit

$z times u = rho e^{ialpha} times e^{itheta} = rho e^{i(alpha +theta)}$.

Le module de l’image du nombre ainsi formé est de même module que $z$ : il faut $rho$ et son angle vaut $alpha +theta$ : on a donc tourné d’un angle $theta$.

Ainsi, l’image du point $M$ d’affixe $z$ par le produit par $u in mathbb{U}$ est le point $M’$ d’affixe $z’$, avec $M’$ obtenu par rotation autour du point O d’un angle $theta$ à partir du point $M$.

La transformation géométrique correspondant à cette opération dans le plan complexe consistant à multiplier un nombre complexe par un nombre complexe de module 1 est une rotation de centre $O$ et d’angle $theta$, c’est à dire un argument du nombre complexe de module 1. 

rotation-cercle_trigonometrique

Finalement, on considère un nombre complexe quelconque $z$ non nul.

Alors $dfrac{z}{|z|}$ appartient à $mathbb{U}$.

En effet, $left |dfrac{z}{|z|}right | = dfrac{|z|}{|z|} = 1$.

Le point d’affixe M $dfrac{z}{|z|}$ se situe à l’intersection du cercle trigonométrique et du segment $[OM]$.