Cours Tirages et probabilités
Exercice

L'énoncé

Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 jetons noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise. \(X\) est la variable aléatoire qui prend pour valeur \(k\) si le premier jeton blanc apparaît au k-ième tirage.

Question 1

Donner la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.

Il n'y a que 4 possibilités pour tirer un jeton blanc. On a donc \(X\) = 1, 2, 3 ou 4.

\(P(X=1)=\dfrac{4}{7}\)

\(P(X=2)=\dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{7}\)

\(P(X=3)=\dfrac{3}{7}\times\dfrac{2}{6}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{35}\)

\(P(X=4)=\dfrac{3}{7}\times\dfrac{2}{6}\times\dfrac{1}{5}\times\dfrac{4}{4}=\dfrac{1}{35}\)

Déterminons à présent l'espérance :

\(E(X)=1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3)+4\times P(X=4)\)

\(E(X)=\dfrac{4}{7}+2\times\dfrac{4}{14}+3\times\dfrac{4}{35}+4\times\dfrac{1}{35}\)

\(E(X)=\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}+\dfrac{12}{35}+\dfrac{4}{35}\)

\(E(X)=\dfrac{40}{35}+\dfrac{16}{35}=\dfrac{56}{35}=\dfrac{8}{5}\)

Combien y a-t-il de valeurs possibles pour \(k\) ?
Pour \(k = 1\), c’est évident. Ensuite, si le jeton blanc apparaît en \(2^{ème}\), \(3^{ème}\) ou \(4^{ème}\) position, il faut tenir compte des jetons noirs tirés.

Question 2

Une autre urne $U'$ contient 17 jetons blancs et 18 jetons noirs.
On jette un dé cubique dont chaque face (numérotée de 1 à 6) a la même probabilité d'apparaître.
Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l'urne $U$, sinon on tire un jeton de l'urne $U'$.
Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est égale à 0.5.

Soit $B$ l'évènement : « Tirer un jeton blanc. »

\(P(B)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{17}{35}\)

\(P(B)=\dfrac{4}{42}+\dfrac{17}{42}=\dfrac{21}{42}=\dfrac{1}{2}\)

Avez-vous fait un arbre pondéré pour comprendre la situation ?
Il faut d’abord choisir l’urne en fonction du dé : \(\dfrac{1}{6}\) pour $U$ et \(\dfrac{5}{6}\) pour $U’$.
Les deux possibilités (urne $U$ ou $U’$) s’additionnent.

Question 3

On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu'il provienne de l"urne $U$.

Soit $J$ l'évènement : « Le jeton vient de l'urne $U$. »

\(P_B(J)=\dfrac{P(B \cap J)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{4}{7}\times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{ 2}}=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{1}{6}\times 2=\dfrac{4}{21}\)

Il faut utiliser les probabilités conditionnelles.
Regardez la vidéo si vous ne connaissez pas la formule.