Cours Matrices et systèmes linéaires
Matrice et système linéaire
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Fiche de cours

Matrices et systèmes d'équations linéaires

 

Définition



On considère le système d'équations suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9  \\ x-y+z&=&2 \\ 2x+y-z & = & 1   \\ \end{array} \right.$ 

Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :


$A =\begin{pmatrix}
1 & 1&2 \\
1 & -1&1\\
2 & 1&-1\\
\end{pmatrix}$   ;  $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
\end{pmatrix} $   et

  $B =\begin{pmatrix}
9\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}.  $ 


Le système se traduit alors par :  $AX=B$.

 

Propriété

 

Si $AX=B$ et $A$ inversible alors

$X=A^{-1} \times B$.

Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l'énoncé.

Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} \times B$.

Le calcul nous permet de conclure que :


$X =\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
3\\
\end{pmatrix} $.

La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.

 


Exemple avec un système linéaire d'équations d'ordre 2.

Résoudre le système d'équations suiv

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