Définition d’une intégrale. Propriétés

Définition de l'intégrale

Définition de l’intégrale

Définition

 

Soit (O,$overrightarrow {i}$,$overrightarrow {j}$) un repère orthonormé et une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a,b]$.

$mathcal{D}$ est le domaine du plan délimité par $x$=$a$  ,   $x$=$b$, l’axe des abscisses et $mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$.

L’intégrale de $f$ sur $[a,b]$ notée $ displaystyle int limits_a^b f (t)dt$ est l’aire $mathcal{A}$ du domaine $mathcal{D}$ exprimée en unités d’aire.

definition_integrale

Exemple

Calculer $I = displaystyle int_{1}^4 x dx = int_{1}^4 t dt$ ($x$ et $t$ sont des variables muettes). 

integrale-fonction-positive

Etape 1 : On repère l’aire recherchée.

Etape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.

Etape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :

$ A = dfrac{(B + b) times h}{2}$

$ A = dfrac{5 times 3}{2}$

Finalement, $I = dfrac{15}{2}$  (exprimée en unité d’aire)

 

 

Cas d’une fonction non positive

Le signe d’une aire est toujours positif en revanche celui d’une intégrale va dépendre de la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

 

integrale-fonction

 

Ainsi, on pourrait avoir $I$:

$I= displaystyle int limits_a^b f (t)dt=- mathcal {A}_1+ mathcal {A}_2-mathcal {A}_3+mathcal {A}_4$ 

Les $ mathcal A_{i}$ sont les aires respectives des quatre domaines representés sur le graphique.

 

 

Exemple

Voici comment représenter: $displaystyle int limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx$

integrale_-fonction-changement-signe

$I = displaystyle int limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx =- mathcal {A}_1+ mathcal {A}_2$

Propriétés de l'intégrale

Propriétés de l’intégrale

Linéarité de l’intégrale

Soit (lambda in mathbb{R}) ((lambda) est une constante), (f) et (g) deux fonctions continues sur ([a,b]), on a :

(displaystyleint_{a}^b lambda f(x) + g(x)dx =lambda int_{a}^b f(x)dx+int_{a}^b g(x)dx)

 

Positivité de l’intégrale

 

Si (f(x)ge 0) sur $[a;b]$ alors (displaystyleint_{a}^b f(x)dxge 0).

 

Croissance de l’intégrale

 

Si (f(x)le g(x)) sur $[a;b]$ alors (displaystyleint_{a}^b f(x)dxle int_{a}^b g (x)dx).

 

Exemple

Écrire sous la forme d’une seule intégrale $J$=(displaystyleint_{1}^e e^{4x} dx+ int_{1}^e dx-2int_{1}^e e^{2x}dx).

 

On utilise la linéarité de l’intégrale pour regrouper les différents termes.

$J=displaystyleint_{1}^e (e^{4x} -2 e^{2x}+1)dx)$

$J=displaystyleint_{1}^e (e^{2x} -1)^2 dx)$