Définition, notation algébrique, conjugué

Définition des nombres complexes

Définition des nombres complexes

 

L’ensemble $mathbb{C}$

Un nombre complexe $z$ se présente sous la forme $z=a+i b$ où $a$ et $b$ sont réels et $i$ est tel que $i^2=-1$.

 

On appelle $a$ la partie réelle de $z$ et on note : $mathcal{Re}(z)=a$.

On appelle $b$ la partie imaginaire de $z$ et on note : $mathcal{Im}(z)=b$.

On note alors $mathbb{C}$ l’ensemble des nombres complexes : $$ mathbb{C}= {a+ib ~|~ a,bin mathbb{R}} $$

 

Illustration graphique

Plan réel :

--33

Plan complexe
--34

Le point $A$ est représenté par le nombre complexe $z=3+2i$ dans le plan complexe.

On parle d’affixe dans le plan complexe et de coordonnées dans le plan réel.

On dit que $z$ est l’affixe du point $A$ et on note $A(3+2i)$

Définition des nombres complexes- Exercice

À savoir faire :

Étape 1 : On place le point dans le repère en plaçant la partie réelle de l’affixe sur l’axe des abscisses.

Étape 2 : On place ensuite la partie imaginaire de l’affixe sur l’axe des ordonnées.

Égalité de complexes, conjugué, opérations élémentaires

Egalité de complexes, conjugués, opérations élémentaires

 

Egalité de nombres complexes

On dit que deux nombres complexes $z=a+ib$ et $z’=a’+ib’$ sont égaux si et seulement si $a=a’$ et $b=b’$.

 

Opérations élémentaires

Les opérations de sommes, différences, multiplications et divisions existent dans $mathbb{C}$.

Pour $z=a+ib$ et $z’=a’+ib’$ deux nombres complexes alors :

 

$bullet$ $z+z’ = (a+a’)+i (b+b’)$

 

$bullet$ $zcdot z’ = (a+ib)cdot (a’+ib’) = (aa’-bb’) + i (a’b+ab’)$

 

Conjugué d’un nombre complexe

On considère un nombre complexe quelconque $z=a+ib$ avec $ain mathbb{R}$ et $binmathbb{R}$.

On appelle conjugué de $z$ et on note $bar z$ le nombre $a-ib$.

Exemple : si $z=1,5+i$ alors $bar z = 1,5-i$.

  

Illustration graphique

--35

Le point $A’$ d’affixe $bar z$ est le symétrique du point $A$ d’affixe $z$ par rapport à l’axe des abscisses

 

Propriétés des conjugués 

si $z$ et $z’$ sont deux nombres complexes (avec $z’$ non nul), alors :

$bullet $ $overline{z+z’} = bar z + bar{z’}$

$bullet $ $overline{zz’} = bar z cdot bar z’$

$bullet$ $overline{left(dfrac{z}{z’}right)} = dfrac{bar z}{bar{z’}}$

 

 

Égalité de complexes, conjugué, opérations élémentaires - Exercice 1

Ce qu’il faut savoir faire :

Exercice 1

Étape 1 : On développe l’expression afin de faire apparaître la partie réelle et la partie imaginaire.

Étape 2 : On établit un système d’équations pour trouver les valeurs de (a) et de (b.)

Exercice 2

Étape 1 : On utilise la formule du cours pour trouver le conjugué (Si (z= a + ib) alors (bar z = a – ib))

Étape 2 : On sait que ( overline {z_1 times z_2} = bar z_1 times bar z_2 )

Étape 3 : On développe en faisant attention que ( i^2 = -1 ).

Égalité de complexes, conjugué, opérations élémentaires- Exercice 2

Ce qu’il faut savoir faire :

Étape 1 : On remplace (z_1) par la valeur donnée dans l’énoncé.

Étape 2 : On multiplie au numérateur et au dénominateur par le conjugué de (z_1).

Étape 3 : On reconnait au dénominateur une identité remarquable ( a^2 – b^2 ).

Nombres complexes : Conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance, démonstration