Fonctions composées - ln (u(x))

Fonctions composées $ln(u(x))$

Théorème

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I$ par:

$displaystyle f(x) = ln(u(x))$ où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $I$,

alors $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = displaystyledfrac{u'(x)}{u(x)}.$

Exemple

Déterminer l’ensemble de définition et la dérivée de la fonction $f$ définie par : 

$displaystyle f(x) = ln(x^2+x+1)$

 

Le discriminant $Delta = 1-4= -3$ donc

$x^2+x+1 > 0$.

La fonction est donc définie et dérivable sur $mathbb{R}$.

Pour tout $x in mathbb{R}$, on a :

$u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1.$

Alors : $f'(x) = displaystylefrac{2x+1}{x^2+x+1}$.

Pour étudier les variations de cette fonction, on pourra juste étudier le signe de $2x+1$

Fonctions composées - ln - Exercice 1

Exercice

 

Soit (f(x) = ln(x^2 – 5x + 4) – ln(x – 5)).

Cherchons l’ensemble de définition (D_f) de la fonction.

 

Étape 1 : On cherche les valeurs de (x) de sorte que les 2 expressions dans les logarithmes soient strictement positives.

Étape 2 : On regarde si on trouve une solution évidente : 1, -1, 2, -2, etc.

Étape 3 : On fait le tableau de signe du trinôme.