Équations, inéquations et fonctions exponentielles

 

Equations et inéquations

 

Propriétés

Pour tous réels $x$ et $y$, $displaystyle e^x=e^y iff x=y$.

Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $displaystyle e^x=a iff x=ln a$.

Pour tous réels $x$ et $y$, $displaystyle e^x leqslant e^y iff x leqslant y$.

Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $displaystyle e^x leqslant a iff
x leqslant ln a$.

Exemple

Résoudre :  $3e^x-1=0$.

étape 1 : Soit $a$ un réel strictement positif. Si $e^x=a$, alors $x=ln a$.

$displaystyle 3e^x = 1$

$displaystyle e^x = frac{1}{3}$

$displaystyle e^x = e^{ln frac{1}{3}} iff x= ln frac{1}{3}$

étape 2 : On utilise $ln (frac{a}{b})=ln a-ln b$.

$displaystyle x= ln frac{1}{3}$

$displaystyle x= ln 1- ln 3$

$displaystyle x= – ln 3$

étape 3 : On conclut en donnant l’ensemble des solutions $S={-ln 3}.$

 

Autre exemple 

Résoudre dans $mathbb{R}$ :  $displaystyle 2e^{2x}-4e^x leqslant 0$.

étape 1 : On factorise par $2e^x$ en utilisant $displaystyle e^{2x }=(e^x)^2$.

$displaystyle 2e^x (e^x-2)leqslant 0$

$displaystyle e^x-2 leqslant 0 text{ (car } 2e^x>0$)

$displaystyle e^x leqslant 2$

étape 2 : On vérifie la cohérence de l’inégalité avant de poursuivre.

étape 3 : On utilise $e^x leqslant a iff x leqslant ln a$, avec $a>0$.

$displaystyle e^x leqslant 2 iff x leqslant ln 2$

étape 4 : On conclut  $S=]-infty; ln 2 ]$.

 

 

Troisième exemple

Résoudre dans $mathbb{R}$ :  $ displaystyle e^{2x}+5e^x-6=0$   $(E)$

étape 1 : On souhaite factoriser mais on ne trouve pas de facteur commun.

étape 2 : On procède à un changement de variable, $X=e^x$

$(E)$ équivaut à : $X^2 +5 X-6 =0 $.

étape 3 : On résout cette équation du second degré.

On peut calculer le discriminant ou chercher des racines évidentes.

On a finalement : $(X-1)(X+6)=0$.

Soit : $X_1=1$ ou $X_2=-6$.

Alors : $e^x=1$ ou $e^x=-6$.

étape 4 : Une exponentielle ne peut pas être négative donc

$e^x=-6$ n’a pas de solution.

étape 5 : On ne résout que $e^x=1$. Pour cela, on utilise le fait que $1=e^0$.

$e^x=e^0 iff x=0 $

étape 6 : On conclut  $S={0}$.

Exponentielles Équations, inéquations - Exercice 1

Exercice

 

Résoudre (3e^x – 1 = 0).

Étape 1 : Si (e^x = a), alors (x = ln a).

Étape 2 : On utilise ( ln (frac{a}{b}) = ln a – ln b).

Étape 3 : On conclut en donnant l’ensemble des solutions.

Exponentielles Équations, inéquations - Exercice 2

Exercice

 

Résoudre dans (mathbb{R}) (2e^{2x} – 4ex leq 0).

Étape 1 : On factorise par (2e^x).

Étape 2 : On utilise (e^{2x} = (e^x)^2).

Étape 3 : L’exponentielle ne s’annule jamais.

Étape 4 : On utilise (e^x leq a Longleftrightarrow x leq ln a), avec (a > 0).

Étape 5 : On conclut.