Fonction de répartition

Fonction de répartition

 

Définition :

 

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de densité $f$ sur $[a; b]$.

On appelle fonction de répartition de la variable $X$, la fonction $F$ définie sur $[a; b]$ par

$F(x) = P(X leq x)$

Or comme $X$ prend ses valeurs sur l’intervalle $[a; b]$, on peut écrire aussi que :

$F(x) = P(a < X leq x)$

Enfin, comme $X$ suit une loi de densité, la probabilité associée s’écrit à l’aide d’une intégrale.

Donc $F(x) = displaystyle int_a^x f(t) ,dt$

On prêtera une attention particulière à ne pas utiliser la même variable à la borne de l’intégrale $x$ pour la variable d’intégration ($t$ ici).

Graphiquement, $F(x)$ est l’aire entre la courbe de $f$, l’axe des abscisses et les droites verticales en $a$ et $x$. 

fonction_repartition

Exercice :

Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de densité $f(x) = dfrac{1}{2} x$ sur $[0; 2]$.

Déterminer $F(x)$.

Soit $x in [0; 2]$,

$F(x) = displaystyle int_0^x dfrac{1}{2}t , dt$.

On cherche donc une primitive de $dfrac{1}{2}t$.

$displaystyle int_0^x dfrac{1}{2}t , dt = left [ dfrac{t^2}{4} right ]_0^x = dfrac{x^2}{4} – dfrac{0^2}{4}$

Finalement, $F(x) = dfrac{x^2}{4}$