Lois de probabilité continues, lois uniformes

Loi à densité sur [a ; b]

Lois de probabilité continues

 

Définition : Densité de probabilité sur un intervalle $[a;b]$

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.

$f$ est une densité de probabilité sur $[a;b]$ si et seulement si :

$ displaystyle int limits_a^{b}f(x)dx=1$

loi-densite-probabilite

Exemple

Soit $ displaystyle f(x)=frac{2}{x^2}$ définie sur $[1 ; 2]$.

Cette fonction $f$ est-elle une densité de probabilité ?

 

Correction

$f$ est continue et positive sur $[1;2]$. On intègre la fonction entre $1$ et $2$:

( displaystyle int limits_{1} ^{2}frac{2}{x^2} dx=left[ -frac{2}{x}right]_{1}^2)

( displaystyle int limits_{1} ^{2}frac{2}{x^2} dx= -frac{2}{2}+frac{2}{1} = 1)

On a donc: ( displaystyle int limits_{1} ^{2} f(x) dx= 1)

Cette intégrale vaut $1$ donc la fonction $f$ est bien une densité de probabilité sur $[1;2]$.

 

Loi uniforme sur [a ; b]

Loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$

Définition

 

$X$, une variable aléatoire suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si et seulement si la fonction de densité de probabilité est :

( displaystyle f(x)=frac{1}{b-a}).

On vérifie que  ( displaystyle int limits_a^{b}f(x)dx=1).

 

Propriétés

 

Pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a:

( displaystyle P(cleqslant X leqslant d)=frac{d-c}{b-a}).

 

loi-uniforme

Exemple

1) On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle $[0 ;5]$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre choisi.

  a)Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ?

  b)Compris entre $e$ et $pi$ ? 

 

Correction

1 a) $X$ suit la loi uniforme sur $[0;5]$. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 est :

$P(X > 4) = P( 4 < Xleq 5)=displaystylefrac{5-4}{ 5-0}=displaystylefrac{1}{ 5}$ 

1 b) La probabilité que ce nombre soit compris entre $e$ et $pi$ est :

$displaystyle P(e leqslant X leqslant pi) = frac{pi – e}{5-0} approx 0, 085$

 

Espérance mathématique – Propriétés

 

Si $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $I = [a; b]$, alors son espérance mathématique vaut :

( displaystyle E(X)=int limits_a^{b}tf(t)dt= int limits_a^{b}ttimes frac{1}{b-a}dt )

Soit après calcul :

( displaystyle E(X)=frac{a+b}{2}).

 

Remarque :

Dans l’exercice précédent, on trouve : $E(X) =displaystyle frac{0+5}{2}= 2,5$.