Loi exponentielle - Propriétés

Loi exponentielle – Propriétés

 

Propriétés

 

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $lambda>0$.

 

Si $Xin [c;d]$, on a:

( displaystyle P(cleqslant X leqslant d)= int limits_{c}^{d}lambda e^{-lambda t}dt= left[-e^{-lambda t}right]_c^d =e^{-lambda c}-e^{-lambda d} )

 Loi-exponenteille

 

Pour tout réel $a>0$ :

( displaystyle P( X leqslant a)= int limits_{0}^{a}lambda e^{-lambda t}dt= 1 -e^{-lambda a})

Par l’événement contraire, on a:

( displaystyle P( X geqslant a)= 1-P(Xleqslant a) = e^{-lambda a}).

 

Espérance mathématique:   ( displaystyle E(X)=frac{1}{lambda})

 

Théorème

 

Une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement c’est-à-dire:

Pour tous $t>0$ et $h>0$, on a :

( displaystyle P_{ X geqslant t}( X geqslant t+h) = P( X geqslant h) = e^{-lambda h})

 

Exemple

La durée de vie, en année, d’un composant électronique est une variable aléatoire notée $T$ qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement de paramètre $lambda$.

Une étude statistique a montré que pour ce type de composant, la durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675.

1) Calculer la valeur $lambda$ arrondie à trois décimales.

2) Quelle est la probabilité, arrondie à trois décimales, qu’un composant de ce type dure :

    a) Moins de 8 ans ?

    b) Plus de 10 ans ?

    c) Au moins 8 ans sachant qu’il a déjà fonctionné trois ans ?

3) Quelle est l’espérance de vie de ce composant?

 

Correction

1) Comme $T$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, $T$ suit aussi une loi exponentielle.

Comme la durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675, on a donc :

$P(Tleqslant 5)=0,675$

Or : $displaystyle P(T leqslant 5) = int limits_{0}^{5}lambda e^{-lambda t}dt=left[-e^{-lambda t}right]_0^5= 1-e^{-5lambda }$.

On en déduit : ( displaystyle 1-e^{-5lambda } = 0, 675 iff e^{-5lambda }= 0, 325 iff -5lambda = ln (0,325))

On trouve finalement : ( displaystyle lambda = -frac{ln (0,325)}{5} approx 0, 225) 

 

2) On a :

a)   ( displaystyle P(T < 8) = P(T leqslant 8) = 1- e^{-0,225 times 8} approx 0,835 )

b)   ( displaystyle P(T > 10) = P(T geqslant 10) = e^{-0,225 times 10} approx 0,105 )

c)   ( displaystyle P_{ T geqslant 3}( T geqslant 8) = P( T geqslant 5) = e^{-0,225 times 5} approx 0,325 )

 

3) ( displaystyle E(T)=frac{1}{lambda} = frac{1}{0,225} approx 4,44 )

L’espérance de vie du composant est donc d’environ 4 ans et demi.

 

 

 

Loi exponentielle sur [0 ; +infini[

Un rappel de cours sur la loi exponentielle sur [0 ; +infini[ en Maths TS.

Loi exponentielle sur $[0 ; +infty[$

 

Définition

 

Soit $lambda>0$ un paramètre réel.

Une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $lambda>0$ si et seulement si la fonction densité $f$ de cette loi est définie sur $[0 ; +infty[$ par:

( displaystyle f(x)= lambda e^{-lambda x})

$f$  est continue et positive et  ( displaystyle lim_{x rightarrow +infty}int limits_{0} ^{x}f(t)dt=1 )

Ainsi, $f$ est bien une densité de probabilité.

Voici la représentation graphique du cas $lambda=2$

loi-exponentielle-2

Propriétés

 

La fonction de répartition vaut:

( displaystyle P(X leqslant x) = int limits_{0}^{x}lambda e^{-lambda t}dt=left[-e^{-lambda t}right]_0^x )  ou encore : 

( displaystyle P(X leqslant x) = 1-e^{-lambda x} )

fonction-de-repartition-loi-exponentielle-3

 

En utilisant l’événement contraire, on a :

( displaystyle P(X geqslant x) = e^{-lambda x} )

 

fonction-de-repartition-loi-exponentielle