Formule des probabilités totales

Probabilité d'une réunion

Probabilité d’une réunion

 

Propriété

 

$Acap B$ est l’événement constitué des issues communes à $A$ et à $B$.

$Acup B$ est l’événement constitué des issues appartenant à $A$ ou $B$.

$boxed{ p(Acup B)=p(A)+p(B)-p(Acap B)}$

Si $A cap B = varnothing$ alors $p(Acup B)=p(A)+p(B)$.

 

Exemple

Au mois d’août, un club comporte 300 vacanciers :

  • 75 font de la planche à voile
  • 129 font de la plongée
  • 30 font les deux activités

Calculer la probabilité qu’un vacancier de ce club choisi au hasard pratique au moins une des deux activités.

 

  • étape 1 : On reconnaît dans l’énoncé l’expression clé qui nous indique une réunion, ici ” au moins “.
  • étape 2 : On distingue les événements présents dans l’énoncé :

$V$: “Le vacancier choisi au hasard qui pratique la voile “.

$P$: “Le vacancier choisi au hasard qui pratique la plongée “.

  • étape 3 : On applique la formule du cours sur la probabilité d’une réunion :

$p(Vcup P)=p(V)+p(P)-p(Vcap P)$

$p(Vcup P)= dfrac{75}{300}+dfrac{129}{300}-dfrac{30}{300}$

$p(Vcup P)=0,58$

Probabilité d'une réunion - Exercice

Exercice

 

Au mois d’août, un club comporte 300 vacanciers :

  • 75 font de la planche à voile
  • 129 font de la plongée
  • 30 font les deux activités

Calculer la probabilité qu’un vacancier choisi au hasard pratique au moins une des deux activités.

  • Étape 1 : On reconnaît dans l’énoncé l’expression clé qui nous indique une réunion, ici “au moins”.
  • Étape 2 : On distingue les événements présents dans l’énoncé.
  • Étape 3 : On applique la formule du cours sur la probabilité d’une réunion :

(P(A cup B) = P(A) + P(B) – P(A cap B))

Formule des probabilités totales

Formule des probabilités totales

 

Définition

Une partition de $Omega$ est un ensemble de parties de $Omega$ deux à deux disjointes et dont la réunion est $Omega$.

 

Propriété

Si $B_1 , B_2ldots,B_n$ forment une partition de $Omega$, alors, pour tout événement $A$, on a:

$p(A)= p(Acap B_1) + p(Acap B_2)+ldots + p(Acap B_n)$

 

Exemple

Un sac contient des jetons de 3 couleurs différentes : blancs (50%), verts (25%) et jaunes (25%).

Les jetons peuvent être ronds ou carrés.

La moitié des jetons blancs sont ronds, 70% des jetons verts sont carrés et 4 jetons jaunes sur 10 sont ronds.

On choisit un jeton au hasard. Quelle est la probabilité que le jeton soit rond ?

On note les événements :

$B$ : “Le jeton est blanc “.

$V$ : “Le jeton est vert “.

$J$ : “Le jeton est jaune “.

$R$ : “Le jeton est rond “.

$C$ : “Le jeton est carré “.

  • étape 1 : On réalise un arbre de probabilité afin de mieux visualiser chaque situation.

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  • étape 2 : On remarque que les événements $B, V$ et $J$ forment une partition de l’univers (et il faut l’écrire !).
  • étape 3 : On applique la formule des probabilités totales.

$p(R)= p(Bcap R) + p(Jcap R)+p(Vcap R)$

$p(R)= p(B)times p_{B}(R) + p(J)times p_{J}(R)+ p(V)times p_{V}(R)$

$p(R)= 0,5times 0,5 + 0,25 times 0,3 + 0,25times 0,4$

$p(R) = 0,425$

La probabilité que le jeton soit rond est égale à 0,425.

Formule des probabilités totales - Exercice

Exercice

 

Un sac contient des jetons de 3 couleurs différentes : blancs (50%), verts (25%) et jaunes (25%).

Les jetons peuvent être ronds ou carrés. On choisit un jeton au hasard. Quelle est la probabilité que le jeton soit rond ?

  • Étape 1 : On réalise un arbre de probabilité afin de mieux visualiser chaque situation.
  • Étape 2 : On remarque que les événements B, V et J forment une partition de l’univers (et il faut l’écrire !).
  • Étape 3 : On applique la formule des probabilités totales.