Loi uniforme sur {1,2,…,n}

Loi uniforme sur {1,2 ..n}

Loi uniforme sur ${1, 2, …, n }$

 

Définition :

 

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, …, n }$ si elle prend pour valeurs les entiers de $1$ à $n$ de manière équiprobable, c’est à dire si pour $k in {1, …, n }$, $P(X = k) = dfrac{1}{n}$

 

Propriété :

 

L’espérance vaut : $E(X) = dfrac{n+1}{2}$

 

Exemple :

Lina regarde de manière équiprobable entre $1$ et $5$ épisodes par jour de sa série préférée.

1) Donner la loi suivie par la variable $X$ donnant le nombre d’épisodes regardés par Lina en un jour

2) En moyenne, combien en regarde-t-elle en 30 jours ?

1) $X$ suit une loi uniforme sur ${1, …, 5 }$ car le choix du nombre d’épisodes visionnés est équiprobable, c’est à dire de même probabilité : $P(X = k) = dfrac{1}{5}$ pour tout $k in {1, …, 5 }$.

2) La question invite à réfléchir sur la moyenne du nombre de vidéos regardées : le réflexe est donc de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
$E(X) = dfrac{5 + 1}{2} = 3$

Par jour, Lina regarde en moyenne $3$ épisodes.

Ainsi, sur $30$ jours, le nombre d’épisodes regardés vaut $3 times 30 = 90 $ .