Loi uniforme sur {1,2 ..n}

Loi uniforme sur $\{1, 2, …, n \}$

Définition :

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, 2, …, n \}$ si elle prend pour valeurs les entiers de $1$ à $n$ de manière équiprobable, c’est à dire si pour $k \in \{1, …, n \}$, $P(X = k) = \dfrac{1}{n}$

Propriété :

L’espérance vaut : $E(X) = \dfrac{n+1}{2}$

Exemple :

Lina regarde de manière équiprobable entre $1$ et $5$ épisodes par jour de sa série préférée.

1) Donner la loi suivie par la variable $X$ donnant le nombre d’épisodes regardés par Lina en un jour

2) En moyenne, combien en regarde-t-elle en 30 jours ?

1) $X$ suit une loi uniforme sur $\{1, …, 5 \}$ car le choix du nombre d’épisodes visionnés est équiprobable, c’est à dire de même probabilité : $P(X = k) = \dfrac{1}{5}$ pour tout $k \in \{1, …, 5 \}$.

2) La question invite à réfléchir sur la moyenne du nombre de vidéos regardées : le réflexe est donc de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.
$E(X) = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$

Par jour, Lina regarde en moyenne $3$ épisodes.

Ainsi, sur $30$ jours, le nombre d’épisodes regardés vaut $3 \times 30 = 90 $ .