Intégration par parties

Intégration par parties

 

L’intégration par parties permet de calculer une intégrale dont on \ne connait pas de primitive.

 

Théorème :

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a; b]$,

$displaystyle int_a^b u’v , \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b – \displaystyle int_a^b uv’ , text{d}t$

 

Démonstration :

La démonstration utilise la formule de dérivation d’un produit de fonctions.

En effet, on sait que $(utimes v)’ = u’v + uv’$.

Ainsi, $u’v = (utimes v)’ – uv’$.

On intègre alors l’égalité entre $a$ et $b$ :

$displaystyle int_a^b u’v , \text{d}t = \displaystyle int_a^b big( (uv)’- uv’ big), text{d}t$.

Par linéarité de l’intégrale, on peut écrire que $ \displaystyle int_a^b big( (uv)’- uv’ big), \text{d}t = \displaystyle int_a^b (uv)’ , \text{d}t – \displaystyle int_a^b  uv’, text{d}t$.

Or, la primitive d’une fonction $f’$ est la fonction $f$, ainsi $displaystyle int_a^b (uv)’ , \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b$.

Finalement, $displaystyle int_a^b u’v , \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b – \displaystyle int_a^b uv’ , text{d}t$.

 

Exemple :

Calculer $displaystyle int_0^1 te^t , text{d}t$.

L’étape la plus difficile de l’intégration par parties consiste à choisir correctement le couple $u$, $v$.

Ici, on remarque que la primitive de la fonction exponentielle vaut la fonction exponentielle elle même.

Ainsi, primitive la fonction exponentielle \ne complexifie pas l’expression.

Cela n’est pas le cas pour la primitive de $t$ qui est $dfrac{t^2}{2}$. 

On pose alors $u’ =e^t$ et $v= t$. On a alors $u = e^t$ et $v’ = 1$.

$u$ et $v$ sont dérivables sur $[0; 1]$.

$begin{align} \displaystyle int_0^1 te^t , \text{d}t &=& \big [te^t big]_0^1 – \displaystyle int_0^1 1times e^t , \text{d}t \ &=& (1times e^1-0times e^0) – \big [e^t big]_0^1  \ &=& e – (e – e^0) \&=& 1end{align}$.
Finalement $displaystyle int_0^1 te^t , \text{d}t = 1$